函數
f
{\displaystyle f}
■ 極大值（5部分）和■ 極小值（12部分） 積分發展的動力源自實際應用中的需求。實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨着科技的發展，很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。[ 註 4] 位移 ）對另一個物理量（比如力 ）的累積效果，這時也需要用到積分。
什麼是積分（動畫 我們以下面這個問題作為介紹積分概念的開始：
考慮平方根 函數
f
:
x
↦
x
{\displaystyle f:\,x\mapsto {\sqrt {x}}}
x
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle x\in [0,\,1]}
f
{\displaystyle f}
問題中的「下方」面積，是指函數
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
S
{\displaystyle S}
f
{\displaystyle f}
S
=
∫
0
1
x
d
x
.
{\displaystyle S=\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,\mathrm {d} x\,\!.}
其中的
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} x}
積分變量 ，表示要求面積的範圍是用坐標軸橫軸的刻度計算；
∫
0
1
{\displaystyle \int _{0}^{1}}
積分範圍 或積分域 ，其中0稱為積分下界 ，1稱為積分上界 ，
∫
{\displaystyle \int }
積分號 ，是從拉長的字母S[ 註 5]
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
被積函數 。[ 註 6]
改進的方法是用更多的小方框來將函數圖象「覆蓋」，如右圖中的做法，就是將坐標軸橫軸[0,1]等分成5個部分：[0,0.2)、[0.2,0.4)、[0.4,0.6)、[0.6,0.8)、[0.8,1]，然後每一部分上放一個黃色的長方形（見右圖■ ）。這5個長方形的高度分別是函數在每個部分的極大值（也就是最右側的值）：
0.2
{\displaystyle {\sqrt {0.2}}}
0.4
{\displaystyle {\sqrt {0.4}}}
0.6
{\displaystyle {\sqrt {0.6}}}
0.8
{\displaystyle {\sqrt {0.8}}}
1
{\displaystyle 1}
S
{\displaystyle S}
0.2
(
0.2
−
0
)
+
0.4
(
0.4
−
0.2
)
+
0.6
(
0.6
−
0.4
)
+
0.8
(
0.8
−
0.6
)
+
1
(
1
−
0.8
)
≈
0.7497.
{\displaystyle {\sqrt {0.2}}\left(0.2-0\right)+{\sqrt {0.4}}\left(0.4-0.2\right)+{\sqrt {0.6}}\left(0.6-0.4\right)+{\sqrt {0.8}}\left(0.8-0.6\right)+{\sqrt {1}}\left(1-0.8\right)\approx 0.7497.\,\!}
求出了
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
■ ），那麼從圖中可以看出，
S
{\displaystyle S}
0
12
(
1
12
−
0
)
+
1
12
(
2
12
−
1
12
)
+
⋯
+
11
12
(
1
−
11
12
)
≈
0.6203.
{\displaystyle {\sqrt {\frac {0}{12}}}\left({\frac {1}{12}}-0\right)+{\sqrt {\frac {1}{12}}}\left({\frac {2}{12}}-{\frac {1}{12}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {11}{12}}}\left(1-{\frac {11}{12}}\right)\approx 0.6203.\,\!}
於是，面積
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
以上的方法可能出現的「漏洞」，是所謂的「取值範圍」不一定會越來越小，最後聚集到同一個值上。雖然直觀上來說，由於函數下方的圖形面積是確定的，只要不斷地用相似的形狀「逼近」，最後總會趨向函數下方圖形的真實面積 。然而，對於某些「病態」的函數，以上的方法是無法得到確定的數值的。十九世紀的數學家波恩哈德·黎曼 證明了，對於滿足某些條件的良態函數，以上的方法一定能求出函數下方的面積。現代的數學家將這種方法求出的面積稱為黎曼積分 ，並給出了嚴格的定義（見#嚴格定義 一節）。對於那些無法用黎曼的方法定義「函數下方圖形面積」的函數，黎曼之後的數學家發展出了一些更寬泛的定義，讓這些函數也能定義積分。
如果一個函數的積分存在，並且有限，就說這個函數是可積的 。一般來說，被積函數不一定只有一個變量 ，積分域也可以是不同維度 的空間，甚至是沒有直觀幾何意義的抽象空間。如同上面介紹的，對於只有一個變量
x
{\displaystyle x}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.}
其中的
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} x}
x
{\displaystyle x}
f
{\displaystyle f}
積分變量 ）之外，還可以表示不同的含義。在黎曼積分中，
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} x}
勒貝格積分 中，表示一個測度 ；或僅僅表示一個獨立的量（微分形式 ）。一般的區間或者積分範圍
J
{\displaystyle J}
J
{\displaystyle J}
∫
J
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{J}f(x)\,\mathrm {d} x.}
如果變量不只一個，比如說在二重積分 中，函數
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)\,\!}
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,\!\,\mathrm {d} \sigma }
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,\!\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y}
其中
d
σ
{\displaystyle \mathrm {d} \sigma }
微分元 。
定義積分的方法不止一種，各種定義之間也不是完全等價的。其中的差別主要是在定義某些特殊的函數：在某些積分的定義下這些函數不可積分，但在另一些定義之下它們的積分存在。然而有時也會因為教學的原因造成定義上的差別。最常見的積分定義是黎曼積分 和勒貝格積分 。
在閉區間上取定一個（不規則的）取樣分割後獲得的黎曼和 黎曼積分得名於德國數學家波恩哈德·黎曼 ，建立在函數在區間取樣分割後的黎曼和之上。設有閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
分割 是指在此區間中取一個有限的點列
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
…
<
x
n
=
b
{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}
[
x
i
,
x
i
+
1
]
{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
=
max
(
x
i
+
1
−
x
i
)
{\displaystyle \lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})}
0
≤
i
≤
n
−
1
{\displaystyle 0\leq i\leq n-1}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
取樣分割 是指在進行分割
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
…
<
x
n
=
b
{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}
[
x
i
,
x
i
+
1
]
{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}
x
i
≤
t
i
≤
x
i
+
1
{\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}}
確定的子區間上不同的取樣方式構成的黎曼和：■ 右端值，■ 極小值， ■ 極大值， ■ 左端值。 對一個在閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
t
0
,
…
,
t
n
−
1
{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}
黎曼和 定義為以下和式：
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
t
i
)
(
x
i
+
1
−
x
i
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})}
和式中的每一項是子區間長度
x
i
+
1
−
x
i
{\displaystyle x_{i+1}-x_{i}}
t
i
{\displaystyle t_{i}}
函數值
f
(
t
i
)
{\displaystyle f(t_{i})}
t
i
{\displaystyle t_{i}}
距離 為高，以分割的子區間為長的矩形 的面積。
最簡單的取樣分割方法是將區間均勻地分成若干個長度相等的子區間，然後在每個子區間上按相同的準則取得標記點。例如取每個子區間右端
t
i
=
x
i
+
1
{\displaystyle t_{i}=x_{i+1}}
t
i
{\displaystyle t_{i}}
λ
{\displaystyle \lambda }
極限 ，那麼這個極限就叫做函數
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
S
{\displaystyle S}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
t
0
,
…
,
t
n
−
1
{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}
λ
≤
δ
{\displaystyle \lambda \leq \delta }
|
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
t
i
)
(
x
i
+
1
−
x
i
)
−
S
|
<
ϵ
.
{\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-S\right|<\epsilon .\,}
也就是說，對於一個函數
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
{\displaystyle f}
S
{\displaystyle S}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
S
{\displaystyle S}
f
{\displaystyle f}
黎曼可積 的。將
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x.}
勒貝格積分的出現源於概率論 等理論中對更為不規則的函數的處理需要。黎曼積分無法處理這些函數的積分問題。因此，需要更為廣義化 的積分概念，使得更多的函數能夠定義積分。同時，對於黎曼可積的函數，新積分的定義不應當與之衝突。勒貝格積分就是這樣的一種積分。 黎曼積分對初等函數 和分段連續的函數定義了積分的概念，勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間 裡。[ 1] :Intro.2-3
勒貝格積分的概念定義在測度 的概念上。測度是日常概念中測量長度、面積的推廣，將其以公理化的方式定義。黎曼積分實際可以看成是用一系列矩形來儘可能鋪滿函數曲線下方的圖形，而每個矩形的面積是長乘寬，或者說是兩個區間之長度的乘積。測度為更一般的空間中的集合定義了類似長度的概念，從而能夠「測量」更不規則的函數曲線下方圖形的面積，從而定義積分。在一維實空間中，一個區間 A = [a , b ] 的勒貝格測度μ(A )是區間的右端值減去左端值， b − a 。這使得勒貝格積分和正常意義上的黎曼積分相兼容。在更複雜的情況下，積分的集合可以更加複雜，不再是區間，甚至不再是區間的交集或併集，其「長度」則由測度來給出。[ 1] :Intro.3
給定一個集合
Ω
{\displaystyle \Omega }
σ
−
{\displaystyle \sigma -}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
μ
{\displaystyle \mu }
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
A
⊂
Ω
{\displaystyle A\subset \Omega }
指示函數
1
A
{\displaystyle 1_{A}}
μ
{\displaystyle \mu }
黎曼積分（藍色）和勒貝格積分（紅色）
∫
1
A
d
μ
=
μ
(
A
)
{\displaystyle \int 1_{A}\,\mathrm {d} \mu =\mu (A)}
再定義可測的非負簡單函數
f
=
∑
i
=
1
n
a
i
1
A
i
{\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}}
A
i
∈
F
,
a
i
⩾
0
{\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}},\,\,a_{i}\geqslant 0}
∫
f
d
μ
=
∫
(
∑
i
=
1
n
a
i
1
A
i
)
d
μ
=
∑
i
=
1
n
a
i
∫
1
A
i
d
μ
=
∑
i
=
1
n
a
i
μ
(
A
i
)
{\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu =\int \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}\right)\,\mathrm {d} \mu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\int 1_{A_{i}}\,\mathrm {d} \mu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mu (A_{i})}
[ 1] :28 對於一般的函數
f
:
Ω
→
R
{\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }
(
a
,
b
]
{\displaystyle (a,b]}
f
−
1
(
(
a
,
b
]
)
∈
F
{\displaystyle f^{-1}\left((a,b]\right)\in {\mathcal {F}}}
f
{\displaystyle f}
非負的可測函數
f
{\displaystyle f}
∫
f
d
μ
=
sup
{
g
,
g
{\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu =\sup {\bigg \{}g,\quad g}
f
−
g
{\displaystyle f-g}
.
}
{\displaystyle .\,{\bigg \}}}
[ 1] :30 這個積分可以用以下的方式逼近：
∫
f
d
μ
=
lim
n
→
+
∞
[
∑
k
=
0
n
2
n
−
1
k
2
n
μ
(
k
2
n
⩽
f
<
k
+
1
2
n
)
+
n
μ
(
f
⩾
n
)
]
=
lim
n
→
+
∞
[
1
2
n
∑
k
=
0
n
2
n
−
1
μ
(
k
2
n
⩽
f
)
]
{\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to +\infty }\left[\sum _{k=0}^{n2^{n}-1}{\frac {k}{2^{n}}}\mu \left({\frac {k}{2^{n}}}\leqslant f<{\frac {k+1}{2^{n}}}\right)+n\mu (f\geqslant n)\right]=\lim _{n\to +\infty }\left[{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n2^{n}-1}\mu \left({\frac {k}{2^{n}}}\leqslant f\right)\right]}
[ 2] :344 直觀上，這種逼近方式是將
f
{\displaystyle f}
Folland ）[ 3] a , b ]劃分為子區間」，而勒貝格積分則是「劃分
f
{\displaystyle f}
至於一般的（有正有負的）可測函數
f
{\displaystyle f}
f
+
:
{\displaystyle f^{+}:}
f
(
x
)
⩾
0
,
{\displaystyle f(x)\geqslant 0,}
f
+
(
x
)
=
f
(
x
)
,
{\displaystyle f^{+}(x)=f(x),}
f
+
(
x
)
=
0.
{\displaystyle f^{+}(x)=0.}
f
−
:
{\displaystyle f^{-}:}
f
(
x
)
⩽
0
,
{\displaystyle f(x)\leqslant 0,}
f
−
(
x
)
=
−
f
(
x
)
,
{\displaystyle f^{-}(x)=-f(x),}
f
−
(
x
)
=
0.
{\displaystyle f^{-}(x)=0.}
可以驗證，總有
f
(
x
)
=
f
+
(
x
)
−
f
−
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x).}
f
{\displaystyle f}
∫
f
d
μ
=
∫
f
+
d
μ
−
∫
f
−
d
μ
{\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu =\int f^{+}\,\mathrm {d} \mu -\int f^{-}\,\mathrm {d} \mu }
[ 1] :41-42 [ 2] :345
以上定義有意義僅當
∫
f
+
d
μ
{\displaystyle \int f^{+}\,\mathrm {d} \mu }
∫
f
−
d
μ
{\displaystyle \int f^{-}\,\mathrm {d} \mu }
f
{\displaystyle f}
積分存在 或積分有意義 。如果
∫
f
+
d
μ
{\displaystyle \int f^{+}\,\mathrm {d} \mu }
∫
f
−
d
μ
{\displaystyle \int f^{-}\,\mathrm {d} \mu }
f
{\displaystyle f}
可積 。[ 1] :42-45 [ 2] :345
給定一個可測集合
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
∫
A
f
d
μ
=
∫
f
1
A
d
μ
.
{\displaystyle \int _{A}f\,\mathrm {d} \mu =\int f1_{A}\,\mathrm {d} \mu .}
[ 2] :345
通常意義上的積分都滿足一些基本的性質。以下的
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
積分是線性的。如果一個函數
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
∫
I
(
α
f
+
β
g
)
=
α
∫
I
f
+
β
∫
I
g
{\displaystyle \int _{\mathcal {I}}(\alpha f+\beta g)=\alpha \int _{\mathcal {I}}f+\beta \int _{\mathcal {I}}g\,}
所有在
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
線性空間 。黎曼積分的意義上，所有區間[a , b ]上黎曼可積的函數
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
∫
a
b
(
α
f
+
β
g
)
(
x
)
d
x
=
α
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
+
β
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,\mathrm {d} x=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x.\,}
所有在可測集合
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
∫
I
(
α
f
+
β
g
)
d
μ
=
α
∫
I
f
d
μ
+
β
∫
I
g
d
μ
.
{\displaystyle \int _{\mathcal {I}}(\alpha f+\beta g)\,\mathrm {d} \mu =\alpha \int _{\mathcal {I}}f\,\mathrm {d} \mu +\beta \int _{\mathcal {I}}g\,\mathrm {d} \mu .}
在積分區域上，積分有可加性。黎曼積分意義上，如果一個函數
f
{\displaystyle f}
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
+
∫
b
c
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,}
如果函數
f
{\displaystyle f}
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
J
{\displaystyle {\mathcal {J}}}
∫
I
∪
J
f
d
μ
=
∫
I
f
d
μ
+
∫
J
f
d
μ
.
{\displaystyle \int _{{\mathcal {I}}\cup {\mathcal {J}}}f\,\mathrm {d} \mu =\int _{\mathcal {I}}f\,\mathrm {d} \mu +\int _{\mathcal {J}}f\,\mathrm {d} \mu .}
如果函數
f
{\displaystyle f}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
{\displaystyle \delta }
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
A
{\displaystyle A}
μ
(
A
)
<
δ
{\displaystyle \mu (A)<\delta }
∫
A
|
f
|
d
μ
<
ϵ
{\displaystyle \int _{A}\left|f\right|\,\mathrm {d} \mu <\epsilon }
微積分基本定理是將微分運算（求導運算）和積分運算（原函數）聯繫在一起的基本定理。從基本定理可以看出微分和積分運算之間的互逆關係。定理敘述如下：
微積分基本定理的一個實用的直接推論，也被稱為微積分第二基本定理：
∫
0
∞
d
x
(
x
+
1
)
x
=
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi }
狹義的黎曼積分中，被積函數是定義在閉區間（長度有限）上的函數，因此取值也是在有限區間中。反常積分也稱為廣義積分，是對更一般區間上的函數定義的積分，研究在狹義黎曼積分的被積函數條件沒有滿足時，是否能夠有積分的定義。一個基本的情形是，被積函數在半開區間[a , b )上有定義，然而在自變量趨向開區間的某一端（比如說b ）時，函數有「瑕點」（函數值趨向無窮或沒有極限）。這時候，考察被積函數在閉區間[a , b - ε]上的積分值
I
ϵ
{\displaystyle I_{\epsilon }}
I
ϵ
{\displaystyle I_{\epsilon }}
I
{\displaystyle I}
a , b )上廣義可積，並且稱其為瑕積分
I
{\displaystyle I}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
ϵ
→
0
∫
a
b
−
ϵ
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{a}^{b-\epsilon }f(x)\,\mathrm {d} x}
另一個基本的情形是區間長度為無限大的情形，稱為無窮限廣義積分。比如說被積函數在在閉區間[a , ∞)上有定義。考慮被積函數在閉區間[a , b ]上的積分值
I
b
{\displaystyle I_{b}}
b 趨向正無窮大的時候，積分值
I
b
{\displaystyle I_{b}}
I
{\displaystyle I}
a , ∞)上廣義可積，並且稱為無窮限積分
I
{\displaystyle I}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
=
lim
b
→
∞
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
其餘更加複雜的情形包括瑕點在區間內部，或者同時包含了無窮限的情形等等。這些情形都可以拆分為基本情形的組合，然後使用以上的方法探討廣義積分的存在性。比如，考慮函數
f
(
x
)
=
1
(
x
+
1
)
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}}
首先考察1到正無窮大的部分，依據上述方法，可以首先考察
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
t ]上的積分：
I
t
=
∫
1
t
d
x
(
x
+
1
)
x
=
2
arctan
t
−
π
2
{\displaystyle I_{t}=\int _{1}^{t}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}}
當實數t 趨於無窮大的時候，上述積分值的極限為
lim
t
→
∞
(
2
arctan
t
−
π
2
)
=
π
2
.
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }\left(2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}.}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
∫
1
∞
d
x
(
x
+
1
)
x
=
lim
t
→
∞
∫
1
t
d
x
(
x
+
1
)
x
=
π
2
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}}
同樣地，考察從0到1的部分，可以首先考察
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
s , 1]上的積分：
I
s
=
∫
s
1
d
x
(
x
+
1
)
x
=
π
2
−
2
arctan
s
{\displaystyle I_{s}=\int _{s}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}}
當正實數s 趨於0的時候，上述積分值的極限為
lim
s
→
0
(
π
2
−
2
arctan
s
)
=
π
2
.
{\displaystyle \lim _{s\to 0}\left({\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}\right)={\frac {\pi }{2}}.}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
∫
0
1
d
x
(
x
+
1
)
x
=
lim
s
→
0
∫
s
1
d
x
(
x
+
1
)
x
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\lim _{s\to 0}\int _{s}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}}
因此可以定義
f
(
x
)
=
1
(
x
+
1
)
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}}
∫
0
∞
d
x
(
x
+
1
)
x
=
∫
0
1
d
x
(
x
+
1
)
x
+
∫
1
∞
d
x
(
x
+
1
)
x
=
π
2
+
π
2
=
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}+\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}=\pi }
路徑積分也稱曲線積分，可以看作是區間上積分的推廣。積分的範圍不是區間（直線段），而是高維空間中的有向曲線 。後者稱為積分路徑。路徑積分有很多種類，當積分路徑為閉合曲線時，稱為環路積分或圍道積分。路徑積分的被積函數可以是標量函數（標量場）或向量函數（向量場）。如果被積函數F 梯度場 ，那麼F 曲面 上進行積分，稱為曲面積分。路徑積分 和曲面積分 是物理學中很重要的工具，例如計算電場 或重力 場中的做功、量子力學 中計算粒子 出現的概率 ，會用到路徑積分。流體力學 中計算流體 的流量、電力學 中使用高斯定律 計算電場和電荷分布時，會用到曲面積分。
John K. Hunter, Bruno Nachtergaele. Applied Analysis. World Scientific（插圖版）. 2001. ISBN 9789810241919（英語） . Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 1984, p. 56.
![{\displaystyle [a,b]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle x\in [a,b]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
![{\displaystyle x\in [0,\,1]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c5912bcfb6a7e7d8fc3b326024d58367f8f9fe)
![{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7138606cdb8eb7dddaba59b5aefe1ade6bc05a1b)
![{\displaystyle (a,b]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6969e731af335df071e247ee7fb331cd1a57ae)
![{\displaystyle f^{-1}\left((a,b]\right)\in {\mathcal {F}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bc53a15b2b18478b2b1b2169bd806c028180ce)
![{\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to +\infty }\left[\sum _{k=0}^{n2^{n}-1}{\frac {k}{2^{n}}}\mu \left({\frac {k}{2^{n}}}\leqslant f<{\frac {k+1}{2^{n}}}\right)+n\mu (f\geqslant n)\right]=\lim _{n\to +\infty }\left[{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n2^{n}-1}\mu \left({\frac {k}{2^{n}}}\leqslant f\right)\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07619e36526729cc47b5f36779e2d3e3ee0d621a)
