在邏輯和數學中,邏輯合取或邏輯與或且是一個二元邏輯運算符。如果其兩個變量的真值都為「真」,其結果為「真」,否則其結果為「假」。[1][2][3]
文氏圖
- 基本符號:
![{\displaystyle \land }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6823e5a222eb3ca49672818ac3d13ec607052c4)
- 英文名:logical conjunction
- 中文名:邏輯與,合取,交集,按位與,邏輯乘,與門,...
- 命題邏輯中的二元連接詞合取,是一個兩元算子,集合論中的交集算子,二進制中的邏輯乘算子,按位與(Bitwise AND),邏輯門中的「與」門(AND gate),編程語言中的&或and運算符等等。
- 邏輯與(logical conjunction)是兩個邏輯變量的一種運算,經常是兩個命題的運算。它滿足:當且僅當其兩個變量的真值都為真時,其結果為真。
- 邏輯與
是個二元算子,運算結果取值為真的條件是,當且僅當兩個命題的取值都真時。命題是取值要麼是真要麼是假的二值語句,沒有第三種取值,或說值域為{真,假}或是{T,F}或是{0,1}。未知真又未知假的語句是猜想;既真又假,既不真又不假的語句是悖論。
- 複合命題
,讀作A合取B,在GCT邏輯中,也叫聯言命題。也有稱為合取命題的。
合取引入規則(∧+)(conjunction introduction rule)或聯言推理的合成式,是經典邏輯中簡單且有效的論證形式。這個論證形式有兩個前提,A和B,可以直觀地推出他們的合取。
其形式如下:
- A,
- B.
- 因此A且B.
形式化為:
![{\displaystyle \mathbf {A} ,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6108335d30c6ded040619eba0529a28c7eed542)
![{\displaystyle \mathbf {B} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafb0ef39b0f5ffa23c170aa7f7b4e718327c4d1)
![{\displaystyle \vdash A\land B}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d536ef29846f62a11cb72d74bcfcba2fce901b7f)
下面的例子是滿足聯言推理的合成式的論證:
- 小橘子是正妹。
- 小橘子是車神。
- 因此小橘子是正妹也是車神。
另一個例子如下:
- 1小於2
- 6大於5
- 因此,1小於2,而且6大於5。
還有一個例子如下:
- 有一些PSPACE問題不是NL問題
- 有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題
- 因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題,而且有一些PSPACE問題不是NL問題
合取消去規則(∧-)(Conjunction elimination rule)或聯言推理的分解式,是另一個在經典邏輯中簡單且有效的論證形式。從任何合取式中都可以直觀地推論出兩個前提中的任意一個。
其形式如下:
- A且B。
- 因此A。
...或者,
- A且B.
- 因此B.
用邏輯運算符描述為,
形式化為:
![{\displaystyle A\land B}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74954195333a8593163b93a9688695b8dc74da55)
![{\displaystyle \vdash A}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b145d194f0785ff840b76ace797a7e077a18f544)
或者,
![{\displaystyle A\land B}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74954195333a8593163b93a9688695b8dc74da55)
![{\displaystyle \vdash B}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa02acb341837055be929c605bd7a9edf73b6de)
例如:
- 有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題,而且有一些PSPACE問題不是NL問題
- 因此有一些PSPACE問題不是NL問題
或者
- 有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題,而且有一些PSPACE問題不是NL問題
- 因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題
另一個例子如下:
- 1小於2,而且6大於5。
- 因此1小於2。
或者
- 1小於2,而且6大於5。
- 因此6大於5。
還有一個例子如下:
- 小橘子是正妹也是車神。
- 因此小橘子是正妹。
或者
- 小橘子是正妹也是車神。
- 因此小橘子是車神。
邏輯與常在位運算中使用,比如:
- 0 and 0 = 0
- 0 and 1 = 0
- 1 and 0 = 0
- 1 and 1 = 1
在高等計算機編程中,邏輯合取「與」通常由內置算符and或&號來表達。很多編程語言還提供與邏輯與相應的短路求值控制結構。
布爾「與」也在SQL的運算符中使用。有些數據庫區分大小寫,需要"AND"符號。
在計算機科學中,AND運算符可以用來構造位屏蔽,以選擇二進制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000
用來取二進制序列的第五位。
集合論中的交運算是用邏輯與來定義的:x ∈ A ∩ B當且僅當(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)。因此邏輯與有很多與交集運算相同的性質,諸如結合律,交換律,分配律,及德·摩根定律。
template:Common logical symbols