雙周期函數

雙周期函數是數學中對一類定義在複平面上的函數（復變量函數）的稱呼，是在複平面的兩個不同「方向」上都有周期性變化的函數。直觀上可以理解為平面上「網格狀」變化的函數。雙周期函數是定義域為實數的周期函數在復變量函數中的推廣。在復變量函數中，只有一個周期的函數稱為單周期函數，如指數函數，周期是2πi。

雙周期函數f(x,y)= sin(x)*cos(y) 的圖像

定義

對一個定義域為複數域${\displaystyle \mathbb {C} }$的函數f來說，如果存在兩個在實數域${\displaystyle \mathbb {R} }$上線性獨立（將複數域看作實數域上的2維向量空間）的複數u和v，使得對任何複數z以及任何整數m, n，都有

${\displaystyle f(z+mu+nv)=f(z),}$

就稱函數f為雙周期函數。^[1]:323

復變量函數中有單周期函數和雙周期函數。單周期函數可以看作是第二個周期為無窮大的雙周期函數。而三周期或更多周期的函數是不存在的，因為複平面是實數域的二維向量空間，所以不可能有三個或更多個線性獨立的向量（複數）。^[2]:197

給定雙周期函數f，對每個複數z，可以確定函數值等於f(z)的複數包括如下集合：${\displaystyle N(z)=z+\mathbb {Z} u+\mathbb {Z} v}$，其中的${\displaystyle \mathbb {Z} }$表示整數集。這個集合N(z)在平面上呈一個網格狀的結構，將複平面劃分為一個個平行四邊形形狀的格子，稱為單元格。雙周期函數的定義表明，函數在每個單元格中有相同的形狀。

例子

只要將雙周期函數在某個單元格中定義，就可以推出函數在其它「格子」里的值。

如果將雙周期函數直觀地作為二維平面上的一類實值函數來看待的話，很容易就能構造出雙周期函數的例子。比如，如果將「1」和「i」作為周期，那麼對應的網格是以平面上所有的「整點」（橫坐標和縱坐標都是整數的點）為節點的正方形網格。只需要定義函數在一個正方形單位上的取值，然後再「逐格複製」就可以了。例如函數：

${\displaystyle f:\;\;x+yi\;\;\mapsto \;\;\sin {(2\pi x)}\cos {(2\pi y)}.}$

從例子中可以看出，定義一個雙周期函數，只需要定義它在一個單元格里的取值就可以了。如果u和v是雙周期函數f的周期，那麼只需要定義f在集合^[2]:197：

${\displaystyle D_{f}=\{tu+sv\;\;|\;\;0\leqslant t,s<1\}}$（一個平行四邊形）

上的取值即可。

橢圓函數

橢圓函數是雙周期函數中最常被研究的一類函數。橢圓函數定義為雙周期的亞純函數（在離散的點以外都是全純函數的函數）。一個常見的例子是魏爾斯特拉斯橢圓函數：

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{m^{2}+n^{2}\neq 0}\left\{{\frac {1}{(z-nu-mv)^{2}}}-{\frac {1}{(nu+mv)^{2}}}\right\}}$^[1]:324

性質

設單元格D_f的邊界為B_f。B_f由四條首尾相連的直線段構成：

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{f}=\{su\;|\;0\leqslant s<1\}\cup \{u+sv\;|\;0\leqslant s\leqslant 1\}\cup \{v+su\;|\;0\leqslant s<1\}\cup \{sv\;|\;0<s<1\}}$

沿着雙周期函數單元格的環路積分

由於雙周期函數f在兩條平行邊上的取值一樣（周期性），如果以B_f為路徑對函數f進行環路積分，積分值會是0：

${\displaystyle \oint _{{\mathcal {B}}_{f}}f(z)\mathrm {d} z=0.}$

如果f是全純函數，那麼可以證明，f是常數函數：f ≡ C. 這是因為f在單元格上的取值是必定是有界的（單元格是緊集），所以根據雙周期性可知f在整個平面上都是有界的函數。因此根據劉維爾定理，f是常數函數。^[3]:73-74

如果f是橢圓函數，那麼根據留數定理，f在單元格內極點的留數之和等於0，這說明f在單元格里不可能只有一個一階極點。要麼有一個留數是0的高階極點，要麼有多於一個一階極點。同樣地，對橢圓函數函數1/f使用留數定理，可以證明f在單元格里不可能只有一個一階零點。要麼有一個高階零點，要麼有多於一個一階零點。^[2]:199-200更進一步地，可以證明f在單元格內取得每個值的次數等於它在單元格內的階數（橢圓函數在某個區域內的階數等於它的所有極點的階數和）^[3]:74-75。

從拓撲結構來說，任何雙周期函數都等價於定義在環面${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$上的函數。所以以上的性質也對定義在環面上的函數適用^[4]:101。

參見

• 魏爾斯特拉斯橢圓函數
• 雅可比橢圓函數
• 模形式
• 概周期函數

參考來源

1. Nico M. Temme. Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics. John Wiley & Sons. 2011. ISBN 9781118030813 （英語）.
2. Michael T. Vaughn. Introduction to Mathematical Physics. John Wiley & Sons. 2008. ISBN 9783527618866 （英語）.
3. Gareth A. Jones. Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint. Cambridge University Press. 1987. ISBN 9780521313667 （英語）.
4. Anatolij T. Fomenko, Aleksej A. Tužilin. Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-Dimensional Space. American Mathematical Soc. 2005. ISBN 9780821898345 （英語）.