劉維爾定理 (複分析)

提示：此條目頁的主題不是劉維爾定理 (哈密頓力學)或劉維爾定理 (微分代數)。

劉維爾定理是數學中複分析的一個定理，由十九世紀法國數學家約瑟夫·劉維爾最先證明。劉維爾定理對整函數（即在整個複數域${\displaystyle \mathbb {C} }$上都是全純函數）的值域進行了刻畫。它表明，任何有界的整函數都一定是常數。

比劉維爾定理更進一步的是皮卡定理。後者說明，只要存在兩個相異的複數，它們都不屬於一個整函數的值域，則這個整函數是常數函數。

簡介

整函數是指從複數域${\displaystyle \mathbb {C} }$射到複數域，並且在整個複數域上都是全純函數的函數。全純也稱為復可微，是複函數的重要性質。某個函數]${\displaystyle f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$在某點${\displaystyle z_{0}}$全純，指在點${\displaystyle z_{0}}$以及其鄰域上有定義，並且以下極限：

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}$

存在。全純函數是複分析中的中心概念。全純不僅代表着復可微，而且可以證明，全純函數必然無窮可微，是解析函數。

劉維爾定理說明，任何一個整函數${\displaystyle f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$，如果存在一個正數${\displaystyle M}$，使得對於所有的複數${\displaystyle z}$，${\displaystyle f(z)}$的模長都小於等於${\displaystyle M}$：

${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M,}$

則該函數必定是常數函數。

證明

證明用到了整函數和解析函數的關係。整函數必然是解析函數，設有整函數${\displaystyle f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$，考慮它關於${\displaystyle z_{0}=0}$的解析展開：

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

其中的係數${\displaystyle a_{k}}$可以根據柯西積分公式求得：

${\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta }$

其中${\displaystyle C_{r}=\{z:\;|z|=r\}}$是以0為圓心，半徑為${\displaystyle r>0}$的圓。依照函數${\displaystyle f}$有界的條件，可以估計係數${\displaystyle a_{k}}$模長的上界：

${\displaystyle |a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta ^{k+1}|}}|\,d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}|\,d\zeta |\leq {\frac {M}{r^{k}}},}$

在以上的估計中，曲線積分為${\displaystyle C_{r}}$，其中半徑${\displaystyle r}$的選擇是任意的。當${\displaystyle r}$趨於無窮大時，${\displaystyle {\frac {M}{r^{k}}}}$趨於0. 因此，讓${\displaystyle r}$趨於無窮大，便可以推出：對所有的k ≥ 1，都有a_k = 0。這說明，

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=a_{0}}$

即是說${\displaystyle f}$是常數函數。定理得證。

應用與推論

代數基本定理

主條目：代數基本定理 § 證明二

整函數的大小關係

應用劉維爾定理可以證明，如果一個整函數${\displaystyle f}$總比另一個整函數${\displaystyle g}$小：${\displaystyle |f|\leqslant |g|}$，那麼這兩個整函數成比例關係：${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,\;f(z)=\kappa \cdot g(z)}$，其中${\displaystyle \kappa }$是比例常數。

考慮函數${\displaystyle h:\;\;z\;\mapsto {\begin{cases}{\frac {f(z)}{g(z)}}&g(z)\neq 0,\\0&g(z)=0.\end{cases}}}$

${\displaystyle |f|\leqslant |g|}$說明，函數${\displaystyle h}$的模長總小於等於1。另一方面，由於${\displaystyle |f|\leqslant |g|}$，所以${\displaystyle {\frac {f(z)}{g(z)}}}$的奇點都是可去奇點，可以依照上面的方式拓延為整函數${\displaystyle h}$。所以${\displaystyle h}$作為一個有界的整函數，根據劉維爾定理，必然是常數函數。這說明${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$成比例關係。

次線性整函數

次線性函數，指函數值總小於等於定值乘以變量值的函數。設整函數${\displaystyle f}$滿足：

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M|z|.}$

其中${\displaystyle M}$是一個常數係數。考慮${\displaystyle f}$的導函數。根據柯西積分公式，

${\displaystyle |f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {\left|f(\zeta )\right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|={\frac {MI_{r}^{z}}{2\pi }}}$

其中${\displaystyle C_{r}=\{\zeta ;\;|\zeta -z|=r\}=\{z+r\cdot e^{it};\;t\in [0,2\pi ]\}}$是以${\displaystyle z}$為圓心，半徑為${\displaystyle r}$的圓；

${\displaystyle I_{r}^{z}=\oint _{C_{r}}{\frac {\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|z+r\cdot e^{it}\right|}{r}}\mathrm {d} t}$

取${\displaystyle r=|z|}$，則${\displaystyle \left|z+r\cdot e^{it}\right|\leqslant |z|+r=2r.}$ 所以${\displaystyle I_{r}^{z}\leqslant \int _{0}^{2\pi }2\mathrm {d} t=4\pi }$，因此

${\displaystyle |f'(z)|\leqslant 2M.}$

因此依據劉維爾定理，${\displaystyle f'}$是常數函數。另一方面，${\displaystyle |f(0)|\leqslant M|0|}$，所以${\displaystyle f(0)=0.}$ 綜上可知，次線性整函數${\displaystyle f}$是線性函數。

皮卡小定理

劉維爾定理可以被用於進一步證明推廣了它的皮卡小定理。

參考文獻

• Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996.
• Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Liouville’s Boundedness Theorem. MathWorld.
• 劉維爾定理的教程