扭棱锲形体

在几何学中，扭棱锲形体是指锲形体经过扭棱变换后的像^[1]，其结果为由12个正三角形面组成的凸多面体^[2]，其也是除了正多面体和半正多面体的扭棱立体外，扭棱结果能以正多边形面存在的凸多面体之一^[3]。每个面都是正三角形的正扭棱锲形体是约翰逊多面体之一，同时，由于其由三角形组成，因此也是三角面多面体之一。詹森多面体是凸多面体，面皆由正多边形组成但不属于均匀多面体，共有92种。这些立体最早在1966年由诺曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名并给予描述^[4]。

扭棱锲形体

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类别	约翰逊多面体 J83 - J84 - J85
对偶多面体	柱化异相双三角柱
识别
名称	扭棱锲形体
参考索引	J84
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	snadow
数学表示法
施莱夫利符号	ss{2,4} ssr{2,2} ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}}$
性质
面	12
边	18
顶点	8
欧拉特征数	F=12, E=18, V=8 （χ=2）
组成与布局
面的种类	4+8个正三角形
顶点图	4(34) 4(35)
对称性
对称群	D2d
特性
凸、三角面
图像
柱化异相双三角柱 （对偶多面体） （展开图）

性质

扭棱锲形体是一种由12个三角形组成的多面体，其共有12个面、18条边和8个顶点。扭棱锲形体的对称性与锲形体相同，过其2相对边的中点的轴为整个立体的180度旋转对称轴，其对称方式为沿著轴旋转180度会得到相同形状，其一共包含2组这样的对称结构。另外一种对称结构是沿著该轴每旋转90度后会得到上下镜射的形状^[5]。

根据一些理论化学的数值实验，以扭棱锲形体顶点为中心的球体形成的簇，在所有由八个球体构成的簇中，其兰纳-琼斯势最小^[6]。

体积与表面积

面为正三角形且边长为单位长的扭棱锲形体，其体积为下列方程的实数根^[7][8]：

${\displaystyle 5832V^{6}-1377V^{4}-2160V^{2}-4=0}$

对应的扭棱锲形体体积V约为^[7]：

${\displaystyle V\approx 0.85949}$

面为正三角形的扭棱锲形体，已知扭棱锲形体有12个正三角形面，因此其表面积A为边长为a之正三角形面积的12倍^[8]：

${\displaystyle A=3{\sqrt {3}}a^{2}\approx 5.19615a^{2}}$

顶点座标

令${\displaystyle q\approx 0.16902}$为多项式

${\displaystyle 2x^{3}+11x^{2}+4x-1.}$

的正实根，然后再令

${\displaystyle r={\sqrt {q}}\approx 0.41112,}$

${\displaystyle s={\sqrt {\frac {1-q}{2q}}}\approx 1.56786,}$

且

${\displaystyle t=2rs={\sqrt {2-2q}}\approx 1.28917.}$

则扭棱锲形体的8个顶点的顶点座标为：

${\displaystyle (\pm t,r,0),\,(0,-r,\pm t),}$

${\displaystyle (\pm 1,-s,0),\,(0,s,\pm 1).}$^[6]

因为这种构造涉及三次方程的解，所以与其他七个三角面多面体不同，扭棱锲形体不能用尺规作图来构造。^[9]

构造

扭棱锲形体可以透过将锲形体视为二角反角柱后套用扭棱变换的结果，因此扭棱锲形体可以视为一系列扭棱反角柱无穷序列的第一项^[10]。

视为二角反角柱的锲形体 其中涂上红色的边为对应的反角柱之底面	扭棱锲形体 （或称为扭棱二角反角柱）

历史

扭棱锲形体最早由在汉斯·弗洛伊登萨和范德瓦尔登在1947年发表的论文被描述，当时该立体被称为暹罗十二面体（Siamese dodecahedron）^[11]。1964年时，约翰·德斯蒙德·伯纳尔也描述了相同的形状，并将其命名为三角十二面体（dodecadeltahedron）代表其为具有12个面的三角面多面体^[12]，虽然仍然存在其他12个面的三角面单纯多面体（英语：Simplicial_polytope），如双六角锥，然而只有扭棱锲形体可以在所有面都是正三角形的情况下保持凸多面体且不退化的状态。约翰·德斯蒙德·伯纳尔对密接球体堆砌所形成的空隙之形状感兴趣，因此他对三角面多面体提出了更严格的定义，其定义为：三角面多面体是一个由三角形面组成的凸多面体，其可以透过全等球体的集合的中心构成，其切线代表多面体的边，且这组球体包住的中间空隙区域只有一个，且没有足够的空间再放入一个全等的球体。例如双三角锥会被此种定义排除，因为其会形成2个四面体形状的孔隙，而非只有一个孔隙、双五角锥也会被此种定义排除，因为置于双五角锥顶点上的球体会互相重合而无法构成球堆砌、正二十面体也会被此种定义排除，因为将球体置于正二十面体顶点所形成的球堆砌之中心空隙还有足够的空间容纳下另一颗球。伯纳尔认为扭棱锲形体这种形状在晶体学中是钙离子非常常见的配位。^[12]

1966年诺曼·约翰逊（英语：Norman Johnson (mathematician)）将92种由正多边形组成的不是正多面体也不是半正多面体的立体命名并给予描述，其中包括了扭棱锲形体。^[13] 在后续的研究中，不同的学者也有依据其外观和其他立体的关联给予不同的名称，例如其外观与双五角锥类似，因此又被称为变棱双五角锥或变形双五角锥（変形双五角錐）^[14]。对于扭棱锲形体的对偶多面体亦存在相关研究^[15]。2017年时戈柏学者等人发现扭棱锲形体的对偶多面体是一种空间填充多面体^[16]。

参见

• 扭棱四面体