在数学里,幂等有两种主要的定义。
- 在某二元运算下,幂等元素是指被自己重复运算(或对于函数是为复合)的结果等于它自己的元素。例如,乘法下唯一两个幂等实数为0和1。
- 某一元运算为幂等的时,其作用在任一元素两次后会和其作用一次的结果相同。例如,高斯符号便是幂等的。
- 一元运算的定义是二元运算定义的特例(详情请见下面)。
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定义
设为一具有作用于其自身的二元运算的集合,则的元素称为幂等的(相对于)当[1][2]
特别的是,任一单位元都是幂等的。若的所有元素都是幂等的话,则其二元运算*被称做是幂等的。例如,联集和交集的运算便都是幂等的。
设为一由映射至的一元运算,则为幂等的,当对于所有在内的,
特别的是,恒等函数一定是幂等的,且任一常数函数也都是幂等的。
注意当考虑一由至的所有函数所组成的集合时,在一元运算下为幂等的若且唯若在二元运算下,相对于其复合运算(标记为)会是幂等的。这可以写成。
一般例子
如上述所说,恒等函数和常数函数总会是幂等的。较不当然的例子有实数或复数引数的绝对值函数,以及实数引数的高斯符号。
将一拓扑空间X内各子集U映射至U闭包的函数在X的幂集上是幂等的。这是闭包运算元的一个例子;所有个闭包运算元都会是幂等函数。
定义上,环的幂等元素为一相对于环乘法为幂等的元素。可以定义一于环幂等上的偏序:若e和f为幂等的,当ef = fe = e时,标记为e ≤ f。依其顺序,0会是最小幂等元素,而1为最大幂等元素。
若e在环R内为幂等的,则eRe一样会是个乘法单位元为e的环。
两个幂等元素e和f被称为正交的当ef=fe=0。在此一情形下,e+f也是幂等的,且有e ≤ e + f和f ≤ e + f。
若e在环R内为幂等的,则f = 1 − e也会是幂等的,且e和f正交。
一在R内的幂等元素e称为核心的,若对所有在R内的x,ex=xe。在此情形之下,Re会是个乘法单位元为e的环。R的核心幂等元素和R的分解为环的直和有很直接的关接。若R为环R1、...、Rn的直和,则环Ri的单位元在R内为核心幂等的,相互正交,且其总和为1。相反地,给出R内给相互正交且总和为1的核心幂等元素e1、...、en,则R会是环Re1、...、Ren的直和。所有较有趣的是,每一于R内的核心幂等e都会给出一R的分解-Re和R(1 − e)的直和。
任一不等于0和1的幂等元素都是零因子(因为e(1 − e) = 0)。这表示了整环及除环都不会存在此种幂等元素。局部环也没有此种幂等元素,但理由有点不同。唯一包含于一环的雅各布森根内的幂等元素只有0。共四元数环内会有一幂等元素组成的悬链曲面。
幂等运算也可以在布林代数内找到。逻辑和与逻辑或便都是幂等运算。
在线性代数里,投影是幂等的。亦即,每一将向量投射至一子空间V(不需正交)上的线性算子,都是幂等的。
一幂等半环为其加法(非乘法)为幂等的半环。
参考文献
参见
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