光子气体

在物理学中，光子气体是一种类似气体的光子集合，它具有许多与传统气体（如氢或氖）相同的特性——包括压力、温度和熵。处于平衡状态的光子气体最常见的例子是黑体辐射。

光子是玻色子的一种，玻色子遵循玻色-爱因斯坦统计并具有整数自旋。一个玻色子气体由三个态函数所给定，如温度，体积和粒子数。然而，对于黑体，能量分布是由光子与物质（通常是容器壁）的相互作用建立的。在这种相互作用中，光子的数量不守恒。因此，黑体光子气体在热力学平衡时的化学势为零。描述黑体状态所需的状态变量的数量因此从三个减少到两个（例如温度和体积）。

黑体光子气体的热力学

在大质量粒子的经典理想气体中，粒子的能量遵守麦克斯韦-玻尔兹曼分布。这种分布是因为粒子相互碰撞时交换能量（和动量）而建立的。在光子气体中，也会有平衡分布，但光子不会相互碰撞（除非在非常极端的条件下，参见双光子物理学），因此必须通过其他方式建立分布。建立分布的最常见方式是通过光子与物质的相互作用。如果光子被系统的墙壁吸收和发射，并且墙壁处于特定温度，那么光子的平衡分布会是该温度下的黑体辐射分布。

玻色气体和具有黑体分布的光子气体之间的一个非常重要的区别是系统中的光子数量不守恒。光子可能与壁中的电子碰撞而消失，并将电子激发到更高的能量状态。此电子可能会经由一系列步骤回到低能阶，每个步骤都会释放一颗光子回到光子气体中。虽然发射光子的光子能量总和与吸收光子相同，但发射光子的数量会有所不同。可以证明，由于缺乏对系统中光子数量的限制，对于黑体辐射，光子的化学势必须为零。

可以由量子力学推导出黑体光子气体的热力学。推导得出频谱能量密度 u （每单位频率间隔与每单位体积的能量），由普朗克定律给出：

${\displaystyle u(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}}$

其中 h 是普朗克常数，c 是光速，ν 是频率，k 是波兹曼常数，T 是温度。

对频率积分并乘以体积 V 可得出光子气体的内能：

${\displaystyle U=\left({\frac {8\pi ^{5}k^{4}}{15(hc)^{3}}}\right)VT^{4}}$^[1]

以及光子数 N ：

${\displaystyle N=\left({\frac {16\pi k^{3}\zeta (3)}{(hc)^{3}}}\right)VT^{3}}$

其中${\displaystyle \zeta (n)}$是黎曼ζ函数。对于特定温度，粒子数 N 以固定方式随体积变化。

对于相对论量子气体（光子本质上就是相对论性的）的状态方程由下式给出

${\displaystyle U=3PV}$

那么我们可以结合上面的公式来产生一个看起来很像理想气体的状态方程：

${\displaystyle PV={\frac {\zeta (4)}{\zeta (3)}}NkT\approx 0.9\,NkT}$

下表总结了黑体光子气体的热力学状态函数。其中压力可以写成${\displaystyle P=bT^{4}}$，与体积无关（${\displaystyle b}$是一个常数）。

黑体光子气体的热力学状态函数${\displaystyle (\hbar =h/2\pi )}$

	状态函数 ( T, V )
内能	${\displaystyle U=\left({\frac {\pi ^{2}k^{4}}{15c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,VT^{4}}$
粒子数	${\displaystyle N=\left({\frac {2k^{3}\zeta (3)}{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,VT^{3}}$ [2]
化学势	${\displaystyle \mu =0}$
压力	${\displaystyle P={\frac {1}{3}}\,{\frac {U}{V}}=\left({\frac {\pi ^{2}k^{4}}{45c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,T^{4}}$ [1]
熵	${\displaystyle S={\frac {4U}{3T}}=\left({\frac {4\pi ^{2}k^{4}}{45c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,VT^{3}}$ [1]
焓	${\displaystyle H={\frac {4}{3}}\,U}$ [1]
亥姆霍兹自由能	${\displaystyle A=-{\frac {1}{3}}\,U}$
吉布斯自由能	${\displaystyle G=0}$

等温转换

作为光子气体的热力学过程的一个例子，考虑一个带有可移动活塞的气缸。圆柱体的内壁是“黑体”，使光子的温度可以保持在特定温度。这意味著圆柱体内的空间将包含黑体分布的光子气体。这种气体在没有由外部引入光子的情况下存在——墙壁将提供光子。假设活塞一直被推入气缸，因此体积非常小。体积内的光子气体会施加压力在活塞上，使其向外移动。为了使转换过程等温，必须对活塞施加几乎相同值的反作用力，使活塞的运动为非常慢。这个力将等于压力乘以活塞的截面积（ A ) 。过程在恒温下进行，直到光子气体的体积达到 V₀ 。将此力对距离 ( x ) 积分，可得对光子气体所做的总功。

${\displaystyle W=-\int _{0}^{x_{0}}P(A\mathrm {d} x)}$

其中使用V = Ax 。定义

${\displaystyle b={\frac {8\pi ^{5}k^{4}}{15c^{3}h^{3}}}}$^[1]

压力是

${\displaystyle P(x)={\frac {bT^{4}}{3}}}$

所做的总功为

${\displaystyle W=-{\frac {bT^{4}Ax_{0}}{3}}=-{\frac {bT^{4}V_{0}}{3}}}$

所需要的热量为

${\displaystyle Q=U-W=H_{0}}$

其中 H₀ 是过程结束时的焓。可以看出，焓是产生光子气体所需的能量。

参见

• 盒中气体——理想气体分布函数的推导
• 波色气体
• 费米气体
• 普朗克黑体辐射定律——光子能量随频率或波长的分布
• 斯特藩－玻尔兹曼定律——黑体辐射通量
• 辐射压

延伸阅读

• Baierlein, Ralph. The elusive chemical potential (PDF). American Journal of Physics. April 2001, 69 (4): 423–434 [2021-12-20]. Bibcode:2001AmJPh..69..423B. doi:10.1119/1.1336839. （原始内容存档 (PDF)于2021-04-28）.
• Herrmann, F.; Würfel, P. Light with nonzero chemical potential (PDF). American Journal of Physics. August 2005, 73 (8): 717–723 [2012-06-29]. Bibcode:2005AmJPh..73..717H. doi:10.1119/1.1904623. （原始内容 (PDF)存档于2016-03-04）.

文献

1. Leff, Harvey S. Teaching the photon gas in introductory physics. American Journal of Physics. 2002-07-12, 70 (8): 792–797 [2021-12-20]. Bibcode:2002AmJPh..70..792L. ISSN 0002-9505. doi:10.1119/1.1479743. （原始内容存档于2019-07-09）.
2. Schwabl, Franz. 4.5 Photon gas. Statistical Mechanics. Springer Science & Business Media. 2006-06-13 [2021-12-20]. ISBN 9783540323433. （原始内容存档于2022-06-15） （英语）.