钱珀瑙恩数

钱珀瑙恩数（Champernowne constant）C₁₀是一个实数的超越数，其十进制表示法有重要的特性，得名自数学家D. G.钱珀瑙恩（英语：D. G. Champernowne），在1933年以本科生(剑桥大学)的身份发表有关钱珀瑙恩数的论文。

在十进制下，可以用连续整数来定义钱珀瑙恩数：

${\displaystyle C_{10}=0.12345678910111213141516...}$ （OEIS数列A033307）.

也可以定义其他进制系统下的钱珀瑙恩数：

${\displaystyle C_{2}=(0.1101110010111011110001001...)_{2}}$

${\displaystyle C_{3}=(0.12101112202122100101102110...)_{3}}$

${\displaystyle C_{36}=(0.123456789ABCDEFGHIJ...)_{36}}$

钱珀瑙恩字（Champernowne word）或是巴比尔字（Barbier word）是指由C_k各位数形成的数列^[1][2]。

十进制下的钱珀瑙恩数C₁₀为正规数，是每个数字出现机会均等的实数。

性质

实数x若在某一进制b下，其数字都是均匀分布，此实数在底数b下为正规数]。均匀分布的意思是所有数字出现比率相近，所有二位数字组合出现比率相近，所有三位数字组合出现比率相近等。若实数在所有进制都是正规数，则称为绝对正规数。

若将一数字的各位数组成一字串，为[a₀, a₁, ...]，而此数字在10进制下正规数，因此可以预期，此字串中，字串[0], [1], [2], …, [9]出现的机率都是1/10，而字串[0,0], [0,1], ..., [9,8], [9,9]出现的机率都是1/100。

钱珀瑙恩证明了${\displaystyle C_{10}}$在十进制下为正规数^[3]，Nakai和Shiokawa证明了更通用的定理：也就是${\displaystyle C_{b}}$在b进制下都会正规数^[4]。有关在${\displaystyle b\neq k}$的条件下，${\displaystyle C_{k}}$在b进制是否是正规数，这问题是还没有答案的开放问题。例如，目前还不知道${\displaystyle C_{10}}$在9进制下是否是正规数。例如${\displaystyle C_{10}}$的前54位数是0.123456789101112131415161718192021222324252627282930313，在9进制下表示为${\displaystyle {0.10888888853823026326512111305027757201400001517660835887}_{9}}$。

Kurt Mahler（英语：Kurt Mahler）证明钱珀瑙恩数是超越数^[5]。${\displaystyle C_{10}}$的无理性度量（英语：irrationality measure）（表示用有理数近似此数字的困难程度）为${\displaystyle \mu (C_{10})=10}$，而针对${\displaystyle b\geq 2}$的进制${\displaystyle b}$，${\displaystyle \mu (C_{b})=b}$^[6]。

相关条目

• 科普兰—艾狄胥常数：另一个用质数定义的正规数。
• 刘维尔数：另一个用十进制定义的超越数。

参考资料

1. Cassaigne & Nicolas (2010) p.165
2. *Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey. Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press. 2003: 299. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015.
3. Champernowne 1933
4. Nakai & Shiokawa 1992
5. K. Mahler, Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen, Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. 40 (1937), p. 421–428.
6. Masaaki Amou, Approximation to certain transcendental decimal fractions by algebraic numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Journal of Number Theory（英语：Journal of Number Theory）, Volume 37, Issue 2, February 1991, Pages 231–241

文献

• Cassaigne, J.; Nicolas, F. Factor complexity. Berthé, Valérie; Rigo, Michel (编). Combinatorics, automata, and number theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 135. Cambridge: Cambridge University Press. 2010: 163–247. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1216.68204.
• Champernowne, D. G., The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, 1933, 8 (4): 254–260, doi:10.1112/jlms/s1-8.4.254.
• Nakai, Y.; Shiokawa, I., Discrepancy estimates for a class of normal numbers, Acta Arithmetica, 1992, 62 (3): 271–284, doi:10.4064/aa-62-3-271-284 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Champernowne constant. MathWorld.
• The fantastic pencil and the Champernowne constant （页面存档备份，存于互联网档案馆）