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在一些集合上從一組到一組雙射的同態 来自维基百科,自由的百科全书
数学上,对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的:群的每个元素作为一个双射(或者对称作用)作用在某个集合上。在这个情况下,群称为置换群(特别是在群有限或者不是线性空间时)或者变换群(特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时)。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示(通常该集合有限),并且可以表述为置换矩阵,一般在有限的情形作此考虑-这和作用在有序的线性空间基上是一样的。
若为一个群而为一个集合,则在上的一个(左) 群作用是一个二元函数
(其中和的像写作),满足如下两条公理:
从这两条公理,可以得出对于每个,映射到的函数是一个双射(单射以应付,满射以应付),从映射到。因此,也可以将在上的群作用定义为从到对称群的群同态。
若群作用给定,我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合。
完全一样地,可以定义一个G在X上的右群作用为函数,满足以下公理:
注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g,而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用,只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用,则
是一左作用,因为
而
所以在这里,我们只考虑左群作用,因为右作用可以相应推理。
群G作用在集合X上的作用称为:[1]
若是的一个元素,且群在上有著一个作用,那么的轨道就是指以下列方式定义的的子集:
的两个轨道,要不彼此相等,要不然其交集就是空集合。这是因为假如两个轨道和有一个共通元素,那么就可以找到两个中的元素和,使得、,同时有,反之亦可推出,而这使得这两个集合所有的元素都相等。
一个轨道的例子是陪集,假若是的一个子集,且定义中元素的惯常运算规则为在上的一个作用,那么的陪集()就是的轨道。
若S是X的一个子集,群G作用在X上( X 被称作G-set),对于群G中的所有元素 g,以及所有S中的元素 x,有著 ,
则我们会说 S在G的作用下是封闭的,或是说,S在G作用下是不变的
若是的一个元素,对于群中的所有元素而言,都有,那么就称是-不变的(-invariant)。
另外若是的一个元素,则所有使得的中的元素构成的集合又称对于的稳定子群(stabilizer subgroup of with respect to ),一般常常将之记作(注意:不要将之与上面轨道的符号混淆)。
是的一个子群,因为根据定义,因此的单位元属于,且假若,那么的逆元也是的元素,因为。
考虑一个映射 可以证明此映射是一个双射的函数,而这个映射的结论就是所谓的 轨道-稳定点定理
而一个跟轨道-稳定点定理相似的结果就是伯恩赛德引理,
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