线性化

关于并行运算中的类似概念，请见“线性一致性”。

数学上的线性化（linearization）是找函数在特定点的线性近似，也就是函数在该点的一阶泰勒级数。在动力系统研究中，线性化是分析非线性微分方程系统或是非线性离散系统，在特定平衡点局部稳定性的一种方法^[1]。 此方法常应用在工程学、物理学、经济学及生态学的应用中。

函数的线性化

函数的线性化为线性函数。针对函数${\displaystyle y=f(x)}$，若要用在任意点${\displaystyle x=a}$下的值及其图形斜率来进行近似时，假设${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle [a,b]}$（或${\displaystyle [b,a]}$）区间内可微，且b邻近a，线性化是可以有效近似的方法。简单来说，线性化就是在${\displaystyle x=a}$点附近，以直线来近似函数的值。例如${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$，那么针对${\displaystyle {\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}}$，利用线性化就可能可以找到理想的近似公式。

针对任意函数${\displaystyle y=f(x)}$，${\displaystyle f(x)}$在已知可微分点附近的位置，都可以被近似。最基本的要求是${\displaystyle L_{a}(a)=f(a)}$，其中${\displaystyle L_{a}(x)}$是${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle x=a}$的线性化。一次方程的图形会形成直线，例如通过点 ${\displaystyle (H,K)}$，斜率为${\displaystyle M}$为直线。方程式的一般形为${\displaystyle y-K=M(x-H)}$。

若是配合点${\displaystyle (a,f(a))}$，${\displaystyle L_{a}(x)}$即变成${\displaystyle y=f(a)+M(x-a)}$。因为可微分函数是局部线性，该点的斜率可以用${\displaystyle f(x)}$在点${\displaystyle x=a}$切线的斜率来代替。

函数局部线性的意思也表示函数图形上的点可以任意接近点${\displaystyle x=a}$，相对来说比较接近的点，其线性近似的效果也会比较好。斜率${\displaystyle M}$最准确的值会是在${\displaystyle x=a}$点的切线斜率。

f(x)=x^2在(x, f(x))的近似值

旁边的图可以说明${\displaystyle f(x)}$在点${\displaystyle x}$的切线。在${\displaystyle f(x+h)}$位置，其中${\displaystyle h}$是小的正值或是负值，${\displaystyle f(x+h)}$非常接近${\displaystyle (x+h,L(x+h))}$点的切线。

函数在点${\displaystyle x=a}$线性化的最终方程为：

${\displaystyle y=(f(a)+f'(a)(x-a))}$

针对${\displaystyle x=a}$，${\displaystyle f(a)=f(x)}$。函数${\displaystyle f(x)}$的导数为${\displaystyle f'(x)}$，而函数${\displaystyle f(x)}$在点${\displaystyle a}$的斜率为${\displaystyle f'(a)}$。

例子

若要找${\displaystyle {\sqrt {4.001}}}$，可以用${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$的资讯。函数${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$在点${\displaystyle x=a}$的线性化为${\displaystyle y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)}$，因为函数${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$定义了函数${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$在点${\displaystyle x}$的斜率。

代入${\displaystyle a=4}$，其线性化结果为${\displaystyle y=2+{\frac {x-4}{4}}}$。

针对${\displaystyle x=4.001}$的例子，可得${\displaystyle {\sqrt {4.001}}}$近似${\displaystyle 2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025}$。其实际值为2.00024998，非常接近，此线性化的误差小于1%的百万分之一。

多变数函数的线性化

函数${\displaystyle f(x,y)}$在点${\displaystyle p(a,b)}$线性化的方程式为：

${\displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(x-a)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(y-b)}$

多变数函数${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$在点${\displaystyle \mathbf {p} }$线性化的通式为

${\displaystyle f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })}$

其中${\displaystyle \mathbf {x} }$是变数向量，而${\displaystyle \mathbf {p} }$是要线性化的点^[2]。

线性化的应用

配合线性化的技术，可以用研究线性系统的工具来分析非线性系统在特定点附近的行为。函数在特定点附近的线性化是在该点附近泰勒级数的一阶展开。针对以下的系统

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$,

其线性化系统为

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )}$

其中${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$是要观测的特定点，而${\displaystyle D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} )}$是${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}$在点${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$所计算的雅可比矩阵。

稳定性分析

在自治系统的稳定性分析中，可以用在双曲平衡点（英语：hyperbolic equilibrium point）计算雅可比矩阵的特征值来判断平衡点的特征。这就是线性化理论（英语：linearization theorem）的内容。若是时变系统，其线性化需要考量其他的因素^[3]。

微观经济学

在微观经济学中，决策规则（英语：decision rule）可以用状态空间下线性化的作法来近似^[4]。若以此方式分析，效用最大化的欧拉方程可以在平稳稳态附近进行线性化^[4]。所得动态方程的系统的唯一解即为其解^[4]。

最佳化

在最优化中，成本函数以及非线性成份都可以线性化，以使用一些线性的求解方式（例如单纯形法）。最佳化的结果可以更有效率的产生，而且是决定性的全域极值。

多物理场

在多物理场系统（系统中有多个不同物理领域的模型，彼此互相影响）中，可以针对每一个物理领域进行线性化。针对每一个物理领域的线性化可以产生线性的monolithic方程系统，可以用monolithic的迭代来求解（例如牛顿法）。这类的例子包括MRI scanner（英语：MRI scanner）系统，包括了电磁系统、力学系统及声学系统^[5]

相关条目

• 线性稳定性（英语：Linear stability）
• 切线刚性矩阵（英语：Tangent stiffness matrix）
• 稳定性导数（英语：Stability derivatives）
• 泰勒公式
• 泛函方程 (L函数)（英语：Functional equation (L-function)）

参考资料

1. The linearization problem in complex dimension one dynamical systems at Scholarpedia. [2020-04-10]. （原始内容存档于2018-07-04）.
2. Linearization. The Johns Hopkins University. Department of Electrical and Computer Engineering 互联网档案馆的存档，存档日期2010-06-07.
3. Leonov, G. A.; Kuznetsov, N. V. Time-Varying Linearization and the Perron effects. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2007, 17 (4): 1079–1107. doi:10.1142/S0218127407017732.
4. Moffatt, Mike. (2008) Dotdash State-Space Approach （页面存档备份，存于互联网档案馆） Economics Glossary; Terms Beginning with S. Accessed June 19, 2008.
5. Bagwell, S.; Ledger, P. D.; Gil, A. J.; Mallett, M.; Kruip, M. A linearised hp–finite element framework for acousto-magneto-mechanical coupling in axisymmetric MRI scanners. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2017, 112 (10): 1323–1352. doi:10.1002/nme.5559.

外部链接

• Linearization for Model Analysis and Control Design （页面存档备份，存于互联网档案馆）