福克-普朗克方程 （Fokker–Planck equation ）描述粒子 在位能场中受到随机 力后，随时间演化的位置 或是速度 的分布函数 [ 1] 荷兰 物理 学家阿德里安·福克 [ 2] 马克斯·普朗克 [ 3]
存在拖曳和扩散项时，福克-普朗克方程的一个一维解。初始状态为远离零速度的δ函数，随机冲击使其分布逐渐变宽 一维 x 方向上,福克-普朗克方程有两个参数，一是拖曳参数 D 1 (x ,t )，另一是扩散 D 2 (x ,t )
∂
∂
t
f
(
x
,
t
)
=
−
∂
∂
x
[
D
1
(
x
,
t
)
f
(
x
,
t
)
]
+
∂
2
∂
x
2
[
D
2
(
x
,
t
)
f
(
x
,
t
)
]
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[D_{1}(x,t)f(x,t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D_{2}(x,t)f(x,t)\right].}
在
N
{\displaystyle N}
∂
f
∂
t
=
−
∑
i
=
1
N
∂
∂
x
i
[
D
i
1
(
x
1
,
…
,
x
N
)
f
]
+
∑
i
=
1
N
∑
j
=
1
N
∂
2
∂
x
i
∂
x
j
[
D
i
j
2
(
x
1
,
…
,
x
N
)
f
]
,
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{i}^{1}(x_{1},\ldots ,x_{N})f\right]+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\left[D_{ij}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{N})f\right],}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
i
{\displaystyle i}
D
1
{\displaystyle D^{1}}
向量 ，
D
2
{\displaystyle D^{2}}
扩散 张量 。
∂
P
∂
t
=
∇
⋅
(
P
∇
V
)
+
D
∇
2
P
{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\nabla \cdot (P\nabla V)+D\nabla ^{2}P}
若V=0，则福克-普朗克方程成为布朗运动
∂
P
∂
t
=
D
∇
2
P
{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=D\nabla ^{2}P}
福克-普朗克方程可以用来计算随机过程 里随机微分方程式 中分布函数 的解。
一个受随机 力的古典粒子，经由朗之万方程式 可以得到福克-普朗克方程。另外再借由福克-普朗克方程也可推导薛丁格方程式 [ 4]
A. D. Fokker, Die mittlere Energie rotierender elektrischer Dipole im Strahlungsfeld , Ann. Phys. 348 (4. Folge 43), 810–820 (1914).
M. Planck, Sitz.ber. Preuß. Akad. (1917).
Edward Nelson ,"Derivation of the Schrödinger Equation from Newtonian Mechanics",Phys. Rev. 150, 1079–1085 (1966)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[D_{1}(x,t)f(x,t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D_{2}(x,t)f(x,t)\right].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a851f9f8af87ef864a937f4fd0eae85f750c549b)
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{i}^{1}(x_{1},\ldots ,x_{N})f\right]+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\left[D_{ij}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{N})f\right],}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619522eefdacb8073c9d778fe21d3bd0c0285fe0)
