海森堡模型

海森堡模型（英语：Heisenberg model）是一个自旋系统的统计力学的模型，常被用来研究磁性系统和强关联电子系统中的相变与临界点的现象（临界现象）。在量子力学发展初期，海森堡首先提出自旋与自旋之间可能存在交互作用，其数学形式是两个自旋角动量的内积${\displaystyle {\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j}}$。海森堡模型的哈密顿算符是这些内积的总和。

${\displaystyle H=\sum _{ij}J_{ij}{\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j}}$

其中自旋角动量的${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$三个分量之间的互易关系为 ${\displaystyle [S_{i}^{\alpha },S_{j}^{\beta }]=i\hbar \delta _{ij}\epsilon _{\alpha \beta \gamma }S_{j}^{\gamma }}$，${\displaystyle \hbar }$为普朗克常数除以 ${\displaystyle 2\pi }$，为了方便以下讨论假设 ${\displaystyle \hbar =1}$。如果只考虑最近邻的自旋才存在交互作用，且交互作用的强度${\displaystyle J_{ij}}$都均等，则哈密顿算符简化为

${\displaystyle H=J\sum _{\langle i,j\rangle }{\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j}=J\sum _{\langle i,j\rangle }\left(S_{i}^{x}S_{j}^{x}+S_{i}^{y}S_{j}^{y}+S_{i}^{z}S_{j}^{z}\right)}$

可定义上升算符 ${\displaystyle S^{+}}$和下降算符 ${\displaystyle S^{-}}$，

${\displaystyle S^{\pm }=S^{x}\pm iS^{y}}$

则哈密顿算符可写成

${\displaystyle H=J\sum _{\langle i,j\rangle }\left[{\frac {1}{2}}\left(S_{i}^{+}S_{j}^{-}+S_{i}^{-}S_{j}^{+}\right)+S_{i}^{z}S_{j}^{z}\right]}$

相较于易辛模型，海森堡模型除了考虑自旋 ${\displaystyle z}$轴方向上的耦合以外，还考虑了 ${\displaystyle x}$和 ${\displaystyle y}$轴方向上的耦合，由于 ${\displaystyle [S_{i}^{\alpha },S_{j}^{\beta }]=i\delta _{ij}\epsilon _{\alpha \beta \gamma }S_{j}^{\gamma }}$，这使研究海森堡模型必须考虑量子力学。

一维海森堡模型

考虑 ${\displaystyle N}$个自旋排成一列，耦合强度 ${\displaystyle J\equiv 1}$，一维海森堡模型的哈密顿算符就写成

${\displaystyle H=\sum _{j=1}^{N}{\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}=\sum _{j=1}^{N}\left[{\frac {1}{2}}\left(S_{j}^{+}S_{j+1}^{-}+S_{j+1}^{+}S_{j}^{-}\right)+S_{j}^{z}S_{j+1}^{z}\right]}$

如果是自旋-1/2的一维海森堡模型，在热力学极限下(${\displaystyle N\rightarrow \infty }$)，基态能量可利用贝特拟设（英语：Bethe ansatz）方法求得 ${\displaystyle e_{0}=-\ln 2+{\frac {1}{4}}}$。

霍尔丹的猜想

自旋半奇整数（${\displaystyle S={\frac {1}{2}}}$、${\displaystyle S={\frac {3}{2}}}$、${\displaystyle S={\frac {5}{2}}}$、…）和整数（${\displaystyle S=1}$、${\displaystyle S=2}$、${\displaystyle S=3}$、…）的一维海森堡模型有不同的性质。在热力学极限下，自旋半奇整数的反铁磁一维海森堡模型的基态没有自旋能隙。邓肯·霍尔丹提出自旋整数的反铁磁一维海森堡模型的基态都存在自旋能隙，后来被称为“霍尔丹的猜想”。

奇数（symmetry protected topological）和偶数（trivial）。

二维海森堡模型

Kagome晶格中的自旋液体。

各向异性

在磁性材料中，磁矩（或自旋）之间的交互作用除了用各向同性的（isotropic）海森堡模型描述以外，还可能出现一些各向异性（anisotropy）。当材料中有较强的自旋-轨道耦合时，常造成自旋 ${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$轴上的耦合强度不同，此时哈密顿算符改写为

${\displaystyle H=J_{x}\sum _{\langle i,j\rangle }S_{i}^{x}S_{j}^{x}+J_{y}\sum _{\langle i,j\rangle }S_{i}^{y}S_{j}^{y}+J_{z}\sum _{\langle i,j\rangle }S_{i}^{z}S_{j}^{z}}$

被广泛研究的海森堡模型类型的模型是XXZ模型，也就是 ${\displaystyle J_{x}=J_{y}\neq J_{z}}$ 的情形，一维自旋-1/2的XXZ模型可利用贝特拟设（英语：Bethe ansatz）严格求解。

当磁矩（或自旋）大于1/2，真实材料中通常还可能出现另一种形式的各向异性，由晶格场造成的单离子各向异性，其数学形式为 ${\displaystyle D(S^{z})^{2}+E[(S^{x})^{2}-(S^{y})^{2}]}$，其中${\displaystyle D}$项和${\displaystyle E}$项分别称为单轴的和菱形的单离子各向异性。因此在磁性材料中常被用来讨论的理论模型写成XXZ模型加上单离子各向异性，

${\displaystyle H=\sum _{\langle i,j\rangle }(S_{i}^{x}S_{j}^{x}+S_{i}^{y}S_{j}^{y}+\Delta S_{i}^{z}S_{j}^{z})+D\sum _{j}(S_{j}^{z})^{2}+E\sum _{j}[(S_{j}^{x})^{2}-(S_{j}^{y})^{2}]}$

当 ${\displaystyle \Delta =1}$ 且 ${\displaystyle D=E=0}$，模型回归到各向同性的海森堡模型。

相关条目

• 易辛模型
• O(N)模型

阅读

• R.J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics, London, Academic Press, 1982
• W. Heisenberg. Zur Theorie des Ferromagnetismus. Zeitschrift für Physik 49 (1928): 619-636.
• H. Bethe, Zur Theorie der Metalle, Zeitschrift für Physik A, 1931 doi:10.1007/BF01341708