在准备好了自旋-轨道作用的哈密顿量微扰项目以后，现在可以估算这项目会造成的能量位移。特别地，想要找到 
的本征函数形成的基底，使 
能够对角化。为了找到这基底，先定义总角动量算符 
：
。
总角动量算符与自己的内积是
。
所以，
。
请注意 与 
互相不对易， 与 
互相不对易。读者可以很容易地证明这两个事实。由于这两个事实， 与 的共同本征函数不能被当做零微扰波函数，用来计算一阶能量位移 
。 与 的共同本征函数也不能被当做零微扰波函数，用来计算一阶能量位移 。可是， 、
、
、
，这四个算符都互相对易。 、 、 、 ，这四个算符也都互相对易。所以， 、 、 、 ，这四个算符的共同本征函数 
可以被当做零微扰波函数，用来计算一阶能量位移 
；其中， 
是主量子数，
是总角量子数，
是角量子数，
是自旋量子数。这一组本征函数所形成的基底，就是想要寻找的基底。这共同本征函数 的 
的期望值是
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle n,j,l,s\,|\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,|\,n,j,l,s\rangle &={1 \over 2}(\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle )\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-3/4]\\\end{aligned}}\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb3bb4d70e0d9b154addbd14293b1f0a119116b)
；
其中，电子的自旋 
。
经过一番繁琐的运算[2]，可以得到 
的期望值
；
其中，
是波耳半径。
将这两个期望值的公式代入，能级位移是
![{\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {Z^{4}e^{2}\hbar ^{2}}{8\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}a_{0}^{3}}}\ {\frac {[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{n^{3}\,l(l+1)(2l+1)}}\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6420ba21c90b55712ef158d20b72a244f5160f3f)
。
经过一番运算，可以得到
![{\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {(E_{n}^{(0)})^{2}}{mc^{2}}}\ {\frac {2n[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{l(l+1)(2l+1)}}\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8012622497b6f875b639d0a32437fecfc25c658)
；
其中，
是主量子数为 的零微扰能级。
特别注意，当 
时，这方程式会遇到除以零的不可定义运算；虽然分子项目 
也等于零。零除以零，仍旧无法计算这方程式的值。很幸运地，在精细结构能量微扰的计算里，这不可定义问题自动地会消失。事实上，当 时，电子的轨道运动是球对称的。这可以从电子的波函数的角部分观察出来， 球谐函数是
，
由于完全跟角度无关，角动量也是零，电子并不会感觉到任何磁场，所以，电子的 轨道没有自旋-轨道作用。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle n,j,l,s\,|\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,|\,n,j,l,s\rangle &={1 \over 2}(\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle )\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-3/4]\\\end{aligned}}\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb3bb4d70e0d9b154addbd14293b1f0a119116b)
![{\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {Z^{4}e^{2}\hbar ^{2}}{8\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}a_{0}^{3}}}\ {\frac {[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{n^{3}\,l(l+1)(2l+1)}}\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6420ba21c90b55712ef158d20b72a244f5160f3f)
![{\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {(E_{n}^{(0)})^{2}}{mc^{2}}}\ {\frac {2n[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{l(l+1)(2l+1)}}\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8012622497b6f875b639d0a32437fecfc25c658)
