格罗滕迪克伽罗瓦理论

数学中，格罗滕迪克伽罗瓦理论（Grothendieck's Galois theory）是域的伽罗瓦理论的一种抽象方法，为代数几何背景下研究代数拓扑的基本群提供了一种方法，大约发展于1960年前后。格罗滕迪克伽罗瓦理论在经典域论背景下提供了一种不同于埃米尔·阿廷的线性代数视角，后者在1930年代成为标准。

亚历山大·格罗滕迪克的方法关注范畴论性质，是定投射有限群（profinite group）G的有限G集合范畴的特征。例如，G可能是表为${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$的群，是循环加性群${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$的逆极限，或等价于有限索引的子群拓扑的有限循环群Z的完备化。因此有限G集是有限集X，其上的G通过商有限循环群作用于X，从而通过给出X的某种置换来指定它。

在上面的例子中，通过把${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$看做任意有限域F在F上的代数闭包${\displaystyle {\bar {F}}}$的投射有限伽罗瓦群${\displaystyle {\rm {Gal}}({\bar {F}}/F)}$，可以看出其与经典伽罗瓦理论的联系。即，当在F上取越来越大的有限分裂域时，固定F的${\displaystyle {\bar {F}}}$的自同构由逆极限描述。观察去原点复平面的单位圆盘的覆叠空间时，就会发现其与几何之间的联系：通过复变量z考虑，圆盘的${\displaystyle z^{n}}$映射实现的有限覆盖对应去心圆盘基本群的子群n.Z。

格罗滕迪克理论发表于SGA1，展示了如何从纤维函子${\displaystyle \Phi }$重构G集范畴，在几何情景中，纤维函子${\displaystyle \Phi }$将覆盖的纤维置于固定基点上（作为集合）。事实上，已证明有同构类型

${\displaystyle G\cong {\rm {Aut}}(\Phi ),}$

后者是${\displaystyle \Phi }$的自同构群（自自然等价）。我们给出范畴的抽象分类，其中给出到集合范畴的函子，这样就可以识别G投射有限的G集范畴。

为了了解这如何应用于域的情形，必须研究域的张量积。拓扑斯理论中，这是原子拓扑斯研究的一部分。

另见

• 淡中范畴
• 纤维函子
• 远阿贝尔几何

参考文献

• Grothendieck, A.; et al. SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental, 1960–1961. Lecture Notes in Mathematics 224. SpringerSphiwe Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-36910-3. arXiv:math/0206203 .
• Joyal, André; Tierney, Myles. An Extension of the Galois Theory of Grothendieck. Memoirs of the American Mathematical Society. 1984. ISBN 0-8218-2312-4.

• Borceux, F.; Janelidze, G. Galois theories. Cambridge University Press. 2001. ISBN 0-521-80309-8. (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
• Szamuely, T. Galois Groups and Fundamental Groups. Cambridge University Press. 2009. ISBN 978-1-139-48114-4.
• Dubuc, E.J; de la Vega, C.S. On the Galois theory of Grothendieck. 2000. arXiv:math/0009145 .

• Caramello, Olivia. Topological galois theory. Advances in Mathematics. 2016, 291: 646–695. arXiv:1301.0300 . doi:10.1016/j.aim.2015.11.050 .