Loading AI tools
来自维基百科,自由的百科全书
在抽象代数中,一个系数域为的多项式的分裂域(根域)是的“最小”的一个扩域,使得在其中可以被分解为一次因式的乘积,其中的是中元素。一个上的多项式并不一定只有一个分裂域,但它所有的分裂域都是同构的:在同构意义上,上的多项式的分裂域是唯一的。
称一个系数域为的多项式 在的某个扩域中分裂,当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解(分裂)成最简单的一次因式的乘积:
其中的,。换句话来说,的根都在中。
使得在其中分裂的扩域有很多,譬如对于某个使得分裂的的,它任意的扩域也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域,是指这样的一个扩域:
如果是有理数域,多项式为
那么其分裂域可以是在中添加三次单位根和2的立方根而得到的扩域:。因为这时可以写作:
同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同,比如:
多项式在准有限域 GF7上的分裂域是GF7,因为在其上已经分解完毕。
给定多项式,在 上的分裂域,假设在里,分解为
那么。
对于域的一个代数闭域扩域和上的一个多项式,存在在上的唯一的一个分裂域,使得。
对于的一个可分扩张,的伽罗瓦闭包是一个分裂域,也是的包含的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了中任意元素,在上的极小多项式在上的分裂域。
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.