引力势能

引力位能是指物体因为大质量物体的万有引力而具有的位能，其大小与其到大质量的距离有关。

提示：此条目的主题不是势能。

${\displaystyle E_{p}=-{\frac {GMm}{r}}}$

其中${\displaystyle G}$为万有引力常数，${\displaystyle M}$、${\displaystyle m}$分别为两物体质量，${\displaystyle r}$为两者距离。

依据古典力学，在两个或更多的质量之间存在著引力位能。能量守恒要求这种重力位能永远是负值^[1]。

证明

一天体${\displaystyle m}$在中心天体${\displaystyle M}$的引力作用下由无穷远处匀速运动至某位置${\displaystyle A}$点。要使${\displaystyle m}$受引力作用但仍保持匀速运动，${\displaystyle m}$上必须有一个与引力等大小但反向的外力，此外力所做的功${\displaystyle W}$定义为引力势能。

${\displaystyle m}$从无穷远处移动至${\displaystyle A}$的过程中，${\displaystyle M}$与${\displaystyle m}$的间距不断减小，万有引力和外力不断增大，是变力。处理变力做功问题，需要借助积分。

设${\displaystyle A}$点与${\displaystyle M}$质心相距${\displaystyle r_{A}}$。先关注微元，再整体思考，可得

${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {x}}=\left|{\vec {F}}\right|\left|{\vec {x}}\right|\cos <{\vec {F}},{\vec {x}}>}$

${\displaystyle \Longrightarrow {\rm {d}}W={\frac {GMm}{r^{2}}}\cdot {\rm {d}}r\cdot \cos 0}$ ^[2]

${\displaystyle W=\int _{\infty }^{r_{A}}{\frac {GMm}{r^{2}}}{\rm {d}}r}$

${\displaystyle W=-{\frac {GMm}{r_{A}}}}$

即 ${\displaystyle E_{p}=-{\frac {GMm}{r_{A}}}}$

广义相对论

在广义相对论，引力位能被塑造成蓝道-利夫希茨赝张量（英语：Landau-Lifshitz pseudotensor）^[3]，以允许古典力学的守恒定律能够获得保留。加上物质的应力-能量张量至蓝道-利夫希茨赝张量的结果是结合了物质和重力能赝张量导致散度为零的发散。有些人反对在基础上做如此的延伸，认为这样做在广义相对论中是不适当的，这是只是守恒律的需要所衍生的用途，在这样的情况下只是赝张量和真张量的结合。

参考资料

1. Alan Guth The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins (1997), Random House , ISBN 0-224-04448-6 Appendix A: Gravitational Energy demonstrates the negativity of gravitational energy.
2. 引力势能公式是如何推出来的？ - 知乎. www.zhihu.com. [2024-02-07].
3. Lev Davidovich Landau & Evgeny Mikhailovich Lifshitz, The Classical Theory of Fields, (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7