在微分几何 中,一个曲面
S
{\displaystyle S}
的平均曲率 (mean curvature )
H
{\displaystyle H}
,是一个“外在的”弯曲 测量标准,局部地描述了一个曲面嵌入 周围空间(比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间 )的曲率。
这个概念由索菲·热尔曼 在她的著作《弹性理论 》中最先引入[ 1] [ 2] 。
令
p
{\displaystyle p}
是曲面
S
{\displaystyle S}
上一点,考虑
S
{\displaystyle S}
上过
p
{\displaystyle p}
的所有曲线
C
i
{\displaystyle C_{i}}
。每条这样的
C
i
{\displaystyle C_{i}}
在
p
{\displaystyle p}
点有一个伴随的曲率
K
i
{\displaystyle K_{i}}
。在这些曲率
K
i
{\displaystyle K_{i}}
中,至少有一个极大值
κ
1
{\displaystyle \kappa _{1}}
与极小值
κ
2
{\displaystyle \kappa _{2}}
,这两个曲率
κ
1
,
κ
2
{\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}}
称为
S
{\displaystyle S}
的主曲率 。
p
∈
S
{\displaystyle p\in S}
的平均曲率 是两个主曲率的平均值(斯皮瓦克 1999 ,第3卷,第2章),由欧拉公式 其实也是所有曲率的平均值[ 3] ,故有此名。
H
=
1
2
(
κ
1
+
κ
2
)
.
{\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .}
利用第一基本形式 与第二基本形式 的系数,平均曲率表示为:
H
=
L
G
−
2
M
F
+
N
E
2
(
E
G
−
F
2
)
,
{\displaystyle H={\frac {LG-2MF+NE}{2(EG-F^{2})}}\ ,}
这里
E
,
F
,
G
{\displaystyle E,F,G}
是第一基本形式的系数,
L
,
M
,
N
{\displaystyle L,M,N}
为第二基本形式的系数。
平均曲率可推广为更一般情形 (斯皮瓦克 1999 ,第4卷,第7章),一个超曲面
T
{\displaystyle T}
的平均曲率为:
H
=
1
n
∑
i
=
1
n
κ
i
.
{\displaystyle H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}\ .}
更抽象地说,平均曲率是第二基本形式 (或等价地,形算子 )的迹
×
1
n
{\displaystyle \times {\frac {1}{n}}}
。
另外,平均曲率
H
{\displaystyle H}
可以用共变导数
∇
{\displaystyle \nabla }
写成
H
n
→
=
g
i
j
∇
i
∇
j
X
,
{\displaystyle H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X\ ,}
这里利用了高斯-Weingarten 关系,
X
(
x
,
t
)
{\displaystyle X(x,t)}
是一族光滑嵌入超曲面,
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
为单位法向量 ,而
g
i
j
{\displaystyle g_{ij}}
是度量张量 。
一个曲面是极小曲面 当且仅当 平均曲率为零。此外,平面
S
{\displaystyle S}
平均曲率满足一个热型方程 称为平均曲率流 方程。
有些作者会将平均曲率直接定为第二基本形式的迹(而并未
×
1
n
{\displaystyle \times {\frac {1}{n}}}
)。然而,这并不影响一个曲面是否成为一个极小曲面的条件。
对 3 维空间中的曲面,平均曲率与曲面的单位法向量 相关:
2
H
=
∇
⋅
n
^
,
{\displaystyle 2H=\nabla \cdot {\hat {n}}\ ,}
这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向:如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立,只要能够计算单位法向量的散度 。
对曲面是两个坐标的函数定义的曲面,比如
z
=
S
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=S(x,y)}
,使用向下的法向量平均曲率(的两倍)表示为
2
H
=
∇
⋅
[
∇
(
S
−
z
)
|
∇
(
S
−
z
)
|
]
=
∇
⋅
[
∇
S
1
+
(
∇
S
)
2
]
=
[
1
+
(
∂
S
∂
x
)
2
]
∂
2
S
∂
y
2
−
2
∂
S
∂
x
∂
S
∂
y
∂
2
S
∂
x
∂
y
+
[
1
+
(
∂
S
∂
y
)
2
]
∂
2
S
∂
x
2
[
1
+
(
∂
S
∂
x
)
2
+
(
∂
S
∂
y
)
2
]
3
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}2H&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla (S-z)}{|\nabla (S-z)|}}\right]\\&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla S}{\sqrt {1+(\nabla S)^{2}}}}\right]\\&={\frac {\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}}
如果曲面还是轴对称 的,满足
z
=
S
(
r
)
{\displaystyle z=S(r)}
,则
2
H
=
∂
2
S
∂
r
2
[
1
+
(
∂
S
∂
r
)
2
]
3
2
+
∂
S
∂
r
r
[
1
+
(
∂
S
∂
r
)
2
]
1
2
{\displaystyle 2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\frac {\partial S}{\partial r}}{r\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}\ }
在流体力学 中使用的另外一种定义是不要因子 2:
H
f
=
(
κ
1
+
κ
2
)
.
{\displaystyle H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .}
这出现于杨-拉普拉斯公式 中,平衡球状小滴内部的压力等于表面张力 乘以
H
f
{\displaystyle H_{f}}
;两个曲率等于小滴半径的倒数
κ
1
=
κ
2
=
r
−
1
{\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}}
。
Costa 极小曲面示意图
一个极小曲面 是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链曲面 、螺旋面 、Scherk 曲面 与Enneper 曲面 。新近发现的包括Costa极小曲面 (1982年)与Gyroid (1970年)。
极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面,球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面 是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点 的曲面;如果允许自交,则存在平均曲率为非零常数的闭曲面,Wente在1986年曾构造出这样的自交环面(陈维桓 2006 ,4.6节)。
高斯曲率
平均曲率流
逆平均曲率流
面积公式第一变分
斯皮瓦克, 迈克尔 , A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) 3rd, Publish or Perish Press, 1999, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4) .
陈维桓, 微分几何, 北京大学出版社, 2006, ISBN 7-307-10709-9