密率即355/113,是圆周率比较精确的一个分数近似值。出自《隋书·律历志上》:“密率,圆径一百一十三,圆周三百五十五。约率,圆径七,周二十二。”[1]由南北朝数学家祖冲之发现。
密率的分数近似值
密率355/113是π的一个渐近分数(参见连分数),是分母小于16604的所有既约分数中最接近π的一个(参见最佳逼近)。它的小数点后六位皆与π相同,与其仅有0.000009%的差距,即小于1/3748629。更加精确的分数近似值,则是52163/16604,也仍然只有小数点后六位数字相同。而要达到7位数字相同,则要86953/27678才得以实现。若要8位数字相同,则要102928/32763才成。[2]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx 3.141\ 592\ 653\ 589\ 793\dots \\\\{\frac {355}{113}}&\approx 3.141\ 592\ 920\ 353\ 982\dots \\\\{\frac {52163}{16604}}&\approx 3.141\ 592\ 387\ 376\ 536\dots \\\\{\frac {86953}{27678}}&\approx 3.141\ 592\ 600\ 621\ 432\dots \\\\{\frac {102928}{32763}}&\approx 3.141\ 592\ 650\ 245\ 704\dots \end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a26c7056ebdc35d35ffa98e4c2bf05390990cbd)
《隋书·律历志上》:宋末,南徐州从事史祖冲之,更开密法,以圆径一亿为一丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间。密率,圆径一百一十三,圆周三百五十五。约率,圆径七,周二十二。
- 《隋书》
- (英文)Jean claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics, p281