墨西哥帽小波

在数学和数值分析里， Ricker 小波^[1]

${\displaystyle \psi (t)={2 \over {{\sqrt {3\sigma }}\pi ^{1 \over 4}}}\left(1-{t^{2} \over \sigma ^{2}}\right)e^{-t^{2} \over 2\sigma ^{2}}}$

Mexican hat

是对高斯函数的二阶导数进行取反并归一化的结果，也就是能够缩放正规化的第二埃尔米特函数。在连续小波的家族当中，埃尔米特小波是个非常特别的存在（应用在连续小波转换称作埃尔米特转换）。Ricker子波经常被采用来模拟地震数据，并作为在计算电动力学的广谱源项。它通常只在美国才会被称作墨西哥帽小波，因为在作为核函数处理2维图像时，形成了墨西哥宽边帽的形状。 由于神经科学家David Marr^[2][3] 的缘故，该函数也被广泛称为 Marr wavelet 。

${\displaystyle \psi (x,y)=-{\frac {1}{\pi \sigma ^{4}}}\left(1-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\mathrm {e} ^{-(x^{2}+y^{2})/2\sigma ^{2}}.}$

2D Mexican hat wavelet

而多维一般化的墨西哥帽小波称为高斯函数的拉普拉斯。实际上，这种小波有时会用高斯函数的差来逼近，因为它可以被分离^[4]，也因此在二维或者更多维的情况下，能够节省大量的计算时间。规模标准化拉普拉斯 ( ${\displaystyle L_{1}}$-norm) 经常被用来作为一个blob检测和计算机视觉应用中的自动规模选择。墨西哥帽小波也可以用Cardinal B-Slines 的微分来逼近。^[5]

墨西哥帽函数的消失动量

消失动量(vanish moment)的定义：

小波转换中，母小波${\displaystyle \psi (t)}$尽量选越高频(意即vanish moment大的)越好．此处先介绍消失动量(vanish moment)的定义

k阶动量(k-th moment)：

${\displaystyle m_{k}=\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}\,\psi \ (t)\,dt}$

若${\displaystyle m_{0}=m_{1}=m_{2}=.....=m_{p-1}=0}$，则我们称母小波${\displaystyle \psi (t)}$的消失动量(vanish moment)为p

消失动量(vanish moment)越高，经内积后被滤掉的低频成分越多．

墨西哥帽函数的消失动量(vanish moment)：

墨西哥帽函数的数学表示式:

${\displaystyle \psi (t)={\frac {2^{5/4}}{\sqrt {3}}}(1-2\pi t^{2})e^{-\pi t^{2}}}$

仔细观察，${\displaystyle \psi (t)}$ 其实是高斯函数的二次微分:

${\displaystyle \psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}},C=}$ 常数。

而高斯函数做傅立叶转换仍是高斯函数

${\displaystyle \psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}}\to -C4\pi ^{2}f^{2}e^{-\pi f^{2}}}$

利用${\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt}$

可以算出${\displaystyle m_{0}=m_{1}=0,m_{2}\neq 0}$

所以墨西哥帽函数的消失动量为2。

高斯函数p次微分的消失动量(vanish moment)：

高斯函数的p次微分的数学表示式:

${\displaystyle \psi (t)={\frac {d^{p}}{dt^{p}}}e^{-\pi t^{2}}}$

其傅立叶转换为${\displaystyle (j2\pi f)^{p}e^{-\pi f^{2}}}$。

利用${\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt}$

可以算出${\displaystyle m_{0}=m_{1}=m_{p-1},m_{p}\neq 0}$。

所以高斯函数p次微分的消失动量为p。

同时也可以印证，墨西哥帽函数是高斯函数的二次微分，消失动量为2

参考文献

1. 存档副本 (PDF). [2014-12-27]. （原始内容 (PDF)存档于2014-12-27）.
2. 存档副本 (PDF). [2015-01-22]. （原始内容存档 (PDF)于2019-11-09）.
3. 存档副本. [2015-01-22]. （原始内容存档于2017-07-20）.
4. Fisher, Perkins, Walker and Wolfart. Spatial Filters - Gaussian Smoothing. [23 February 2014]. （原始内容存档于2021-02-13）.
5. Brinks R: On the convergence of derivatives of B-splines to derivatives of the Gaussian function, Comp. Appl. Math., 27, 1, 2008