四分位数

四分位数（英语：Quartile）是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数。

概念

• 第一四分位数（${\displaystyle Q_{1}}$），又称较小四分位数，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字。
• 第二四分位数（${\displaystyle Q_{2}}$），又称中位数，等于该样本中所有数值由小到大排列后第50%的数字。
• 第三四分位数（${\displaystyle Q_{3}}$），又称较大四分位数，等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。

第三四分位数与第一四分位数的差距又称四分位距（InterQuartile Range, IQR）。

运算过程

关于四分位数值的选择尚存争议^[1]。

主要选择四分位的百分比值${\displaystyle p}$，及样本总量${\displaystyle n}$有以下数学公式可以表示：^[2]

${\displaystyle L_{p}=n\cdot {\frac {p}{100}}}$

• 情况1：如果${\displaystyle L}$是一个整数，则取第${\displaystyle L}$和第${\displaystyle L+1}$的平均值
• 情况2：如果${\displaystyle L}$不是一个整数，则取下一个最近的整数。（比如${\displaystyle L=1.2}$， 则取${\displaystyle 2}$）

举例

图示中箱形图（有四分位数及四分位距）和概率密度函数 为描述一个常规总量${\displaystyle N(0,1\sigma ^{2})}$的分布情况

一个算法如下（可以兼用TI-83计算器）：

1. 利用中位数使数据分成两列（不要把中位数放入已分好的数列）。
2. 第一四分位数为第一组数列的中位数；第三四分位数为第二组数列的中位数。

以下例子可以用来参考。

例1

数据总量：${\displaystyle 6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36}$

由小到大排列的结果：${\displaystyle 6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49}$

${\displaystyle {\begin{cases}Q_{1}=15\\Q_{2}=40\\Q_{3}=43\end{cases}}}$

例2

数据总量：${\displaystyle 7,15,36,39,40,41}$

${\displaystyle {\begin{cases}Q_{1}=15\\Q_{2}=37.5\\Q_{3}=40\end{cases}}}$

例3

数据总量：${\displaystyle 1,2,3,4}$

${\displaystyle {\begin{cases}Q_{1}=1.5\\Q_{2}=2.5\\Q_{3}=3.5\end{cases}}}$

应用

不论${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3}}$ 的变异量数数值为何，均视为一个分界点，以此将总数分成四个相等部份，可以通过比较${\displaystyle Q_{1},Q_{3}}$，分析其数据变量的趋势。

参考文献

1. Hyndman, Rob J; Fan, Yanan. Sample quantiles in statistical packages. American Statistician. November 1996, 50 (4): 361–365 [2020-01-19]. JSTOR 2684934. doi:10.2307/2684934. （原始内容存档于2017-01-25）.
2. http://books.google.com/books?id=1LH6tNn6CYkC&printsec=frontcover&source=bl&ots=lOg76JIira&sig=Jp_OJYojlBs0LszvhIKuWkEjBuM&hl=en&ei=U4NdSszRLoqGsgPywYCxCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1