同伦

同伦（英语：Homotopic^{[注 1]}）在数学和拓扑学上描述了两个对象间的“连续变化”。两个定义在拓扑空间之间的连续函数，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同伦群和上同伦群（英语：Cohomotopy group）的定义，它们是代数拓扑中重要的不变量（英语：Invariant (mathematics)）。

图中的两条虚线相对于它们的端点是同伦的。动画表示了一种可能的同伦。

事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或谱（英语：Spectrum_(topology)）。

定义

两个将环面映射到R³的嵌入之间的同伦：“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕的例子。

给定两个拓扑空间 ${\displaystyle X\,\!}$ 和 ${\displaystyle Y\,\!}$。考虑两个连续函数 ${\displaystyle f,\,g\,:\,X\rightarrow Y\,\!}$，若存在一个定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的连续映射 ${\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}$ 使得：

• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}$
• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}$

则称${\displaystyle H}$是 ${\displaystyle f,\,g}$之间的一个同伦^[1]:183。

如果我们将 H 的第二个参数当作时间，这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变：0 时刻我们得到函数f，1 时刻我们得到函数 g。 我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 f 平滑地转变为函数 g，反之亦然。

另一种观点是：对每个${\displaystyle x\in X\,\!}$，函数 ${\displaystyle H\,\!}$ 定义一条连接 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 与 ${\displaystyle g(x)\,\!}$的路径：

${\displaystyle \gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!}$

右侧的循环动画展示了两个嵌入R³中的环面之间的同伦。X 是环面，Y 是 R³。f，g 是从环面到 R³的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了h_t(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。

性质

当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g时，称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系^[1]:184。以下情形中，同伦关系满足函数的复合：

如果 f₁, g₁ : X → Y 是同伦的，并且 f₂, g₂ : Y → Z 是同伦的，则他们的复合 f₂ ∘ f₁ 与 g₂ ∘ g₁ : X → Z 也是同伦的。

例子

例一：取 ${\displaystyle X=\mathbb {R} \,\!}$, ${\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!}$, ${\displaystyle f(x)=1\,\!}$ 及 ${\displaystyle g(x)=-1\,\!}$。则${\displaystyle f\,\!}$ 与 ${\displaystyle g\,\!}$ 透过下述函数在 ${\displaystyle Y\,\!}$ 中同伦。

${\displaystyle H(x,t)=1-2t\,\!}$

（注意到此例子不依赖于变数 ${\displaystyle x}$，通常并非如此。）

注：“在${\displaystyle Y}$中同伦”的说法提示一个重点：在例一中若将${\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!}$代为子空间${\displaystyle Y'=\mathbb {R} ^{*}\,\!}$，则虽然${\displaystyle f\,\!}$ 与 ${\displaystyle g\,\!}$仍取值在${\displaystyle Y'\,\!}$，但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。

例二：取${\displaystyle X=[0,1]\,\!}$,${\displaystyle Y=\mathbb {C} \,\!}$,${\displaystyle f(x)=e^{2i\pi x}\,\!}$ 及 ${\displaystyle g(x)=0\,\!}$。则${\displaystyle f\,\!}$描绘一个以原点为圆心的单位圆； ${\displaystyle g\,\!}$停在原点。${\displaystyle f\,\!}$ 与 ${\displaystyle g\,\!}$ 透过下述连续函数同伦：

${\displaystyle H(x,t)=(1-t)e^{2i\pi x}\,\!}$

几何上来看，对每个值${\displaystyle t\,\!}$，函数${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!}$描绘一个以原点为圆心，半径 ${\displaystyle 1-t}$ 的圆。

相对同伦

为定义高阶基本群，必须考虑相对于一个子空间的同伦概念。这是指能在不变动该子空间的状况下连续变化，正式定义是：设${\displaystyle f,g:X\rightarrow Y}$是连续函数，固定子空间 ${\displaystyle K\subset X}$；若存在前述同伦映射 ${\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}$，满足：

• ${\displaystyle H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)}$
• ${\displaystyle \forall k\in K\;H(k,t)=f(k)=g(k)}$

则称 ${\displaystyle f,g}$ 相对于 ${\displaystyle K}$ 同伦。若取 ${\displaystyle K=\emptyset }$，则回到原先的同伦定义。

空间的同伦等价

给定两个拓扑空间${\displaystyle E\,\!}$ 与 ${\displaystyle F\,\!}$，我们称之同伦等价（或称具相同伦型），当且仅当存在两个连续映射${\displaystyle f\,:\,E\rightarrow F\,\!}$与${\displaystyle g\,:\,F\rightarrow E\,\!}$，使得：

• ${\displaystyle g\circ f\,\!}$ 同伦到 ${\displaystyle E\,\!}$ 的恒等映射 ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}}$。
• ${\displaystyle f\circ g\,\!}$ 同伦到 ${\displaystyle F\,\!}$ 的恒等映射 ${\displaystyle \mathrm {id} _{F}}$。

同胚蕴含同伦，反之则不然，详见以下例子：

例三：

• 一个平面上的圆或椭圆同伦等价到${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\,\!}$，即去掉一点的平面。
• 线段${\displaystyle [a,b]\,\!}$、闭圆盘及闭球间两两同伦等价，它们皆同伦等价于一个点。

同伦等价是个拓扑空间之间的等价关系。许多代数拓扑学里的性质均在同伦等价下不变，包括有：单连通、同调群及上同调群等等。

同痕

同痕（Isotopy）是同伦的加细版；我们进一步要求所论的函数${\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y\,\!}$ 和 ${\displaystyle g\,:\,X\rightarrow Y\,\!}$ 是嵌入，并要求两者间可用一族嵌入映射相连。

定义如此：${\displaystyle f\,\!}$ 与 ${\displaystyle g\,\!}$被称为同痕的，若且唯若存在连续映射${\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}$使之满足：

• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}$
• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}$
• 对所有${\displaystyle t\in [0,1]\,\!}$，映射${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!}$是个嵌入映射。

同痕的概念在纽结理论中格外重要：若两个结同痕，则我们视之相等；换言之，可以在不使结扯断或相交的条件下彼此连续地变形。

注释

1. 源自希腊语：ὁμός homós，意为“相同，相似的”与希腊语：τόπος tópos，意为“方位”

参考

1. Colin, Adams; Robert, Franzosa; 沈以淡. 第9章 同伦与度理论. 拓扑学基础及应用. 北京: 机械工业出版社. 2010年4月1日. ISBN 9787111288091. OCLC 644064114. 引文格式1维护：日期与年 (link)

参见

• Homeotopy（英语：Homeotopy）
• 庞加莱猜想
• 同伦范畴
• 同伦类型论
• 纤维-同伦等价（英语：Fiber-homotopy equivalence）
• 映射类群（英语：Mapping class group）
• 正则同伦（英语：Regular homotopy）