电磁场的动力学理论

《电磁场的动力学理论》（英语：A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field）是一篇詹姆斯·马克士威发于1864年的论文，这篇论文是他所写的第三篇关于电磁学的论文^[1]。在这篇论文里，他首次系统性地陈列出马克士威方程组。马克士威又应用了先前在他的1861年论文《论物理力线》里提出的位移电流的概念，来推导出电磁波方程式^[2]。由于这导引将电学、磁学和光学联结成一个统一理论。这创举现在已被物理学术界公认为物理学史的重大里程碑。

这篇论文明确地阐明，能量储存于电磁场内。因此，它在历史上首先建立了场论的基础概念。^[3]

马克士威原本的方程式

在这篇论文的标题为电磁场一般方程式的第三章里，马克士威列出了涉及二十个未知量的二十个方程式，在那时期，称为马克士威方程组。由于向量微积分尚在发展中，这二十个方程式都是以分量形式表示，其中，有十八个方程式可以用六个向量方程式集中表示（对应于每一个直角坐标，有一个方程式），另外剩下的两个是纯量方程式。所以，以向量标记，马克士威方程组可以表示为八个方程式。1884年，从这八个方程式，奥利弗·黑维塞重新编排出四个方程式，并且称这一组方程式为马克士威方程组。今天广泛使用的马克士威方程组就是黑维塞编成的这一组方程式。

黑维塞版本的马克士威方程组是以现代向量标记法写出。在原先版本的八个方程式里，只有一个方程式，高斯定律的方程式(G)，完整不变地出现于黑维塞版本。另外一个在黑维塞版本的方程式，乃是由总电流定律的方程式(A)与安培环路定理的方程式(C)共同凑合而成。这方程式包含了马克士威的位移电流，是安培环路定理的延伸。

以向量标记，马克士威方程组的原先版本的八个方程式，分别写为

(A) 总电流定律

${\displaystyle \mathbf {J} _{tot}=\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$ 、

(B) 磁场方程式

${\displaystyle \mu \mathbf {H} =\nabla \times \mathbf {A} }$ 、

(C) 安培环路定理

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{tot}}$ 、

(D) 劳仑兹力方程式

${\displaystyle \mathbf {E} =\mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi }$ 、

(E) 电弹性方程式

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon }}\mathbf {D} }$ 、

(F) 欧姆定律

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{\sigma }}\mathbf {J} }$ 、

(G) 高斯定律

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$ 、

(H) 连续方程式

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$ 。

标记符号：

${\displaystyle \mathbf {H} }$ 是磁场强度，

${\displaystyle \mathbf {J} }$ 是传导电流密度，

${\displaystyle \mathbf {J} _{tot}}$ 是总电流密度（包括位移电流密度），

${\displaystyle \mathbf {D} }$ 是电位移，

${\displaystyle \rho }$ 是自由电荷密度，

${\displaystyle \mathbf {A} }$ 是磁向量势，

${\displaystyle \mathbf {E} }$ 是电场，

${\displaystyle \phi }$ 是电势，

${\displaystyle \mu }$ 是磁导率，

${\displaystyle \epsilon }$ 是电容率，

${\displaystyle \sigma }$ 是电导率 。

关于介质的性质，马克士威并没有试着处理比较复杂的状况。他表述的主要是线性、均向性、非色散性物质；他也稍微谈到一些有关异向性的晶体物质的问题。

值得注意的是，马克士威将 ${\displaystyle \mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} }$ 项目包括于他的合势方程式(D)。这项目表达一个以速度 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 移动的导体所感受到的单位电荷的磁场力而产生的动生电动势。这意味著合势方程式(D)表达了劳仑兹力。这方程式最先出现为论文《论物理力线》的方程式(77)，比劳仑兹想到这问题早了很多年。现在，劳仑兹力方程式列为马克士威方程组之外的额外方程式，并没有被包括在马克士威方程组里面。

光波是电磁波

马克士威，电磁学之父

在论文《电磁场的动力学理论》里，马克士威应用了的1861年论文《论物理力线》第三节里对于安培环路定理的修正，将位移电流与其它已成立的电磁方程式合并，因而得到了描述电磁波的波动方程式。最令人振奋的是，这方程式所描述的波动的波速等于光波的速度。他于是说^[4]：

这些殊途一致的结果，似乎意味著光波与电磁波都是同样物质的属性，光波是按照著电磁定律传播于电磁场的电磁扰动。
— 詹姆斯·马克士威

马克士威在对于光波是一种电磁现象的推导里，并没有使用法拉第电磁感应定律，而是使用方程式(D)来解释电磁感应作用。由于不考虑导体的运动，项目 ${\displaystyle \mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} }$ 可以被删除。事实上，他的八个方程式里，并没有包括法拉第电磁感应定律方程式在内。

由于马克士威的推导比较冗长，现代的教科书已不再采用这推导，改而选择另一种比较简易了解的推导，这推导主要是使用马克士威-安培定律（安培环路定理的延伸）与法拉第电磁感应定律。

马克士威的推导

假设电磁波是一个平面波，以波速 ${\displaystyle V}$ 向正z-轴的方向传播于某介质，则描述此电磁波的每一个函数都拥有参数 ${\displaystyle w=z-Vt}$ 。根据磁向量定义式(B)，

${\displaystyle \mathbf {B} =-{\hat {x}}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}+{\hat {y}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}}$ ；

其中，${\displaystyle B\ {\stackrel {def}{=}}\ \mu \mathbf {H} }$ 是磁感应强度的定义式。

注意到 ${\displaystyle B_{z}=0}$ ， 还有，${\displaystyle \mathbf {B} }$ 垂直于平面波的传播方向，这电磁波是个横波。

根据安培环路定理(C)，

${\displaystyle \mathbf {J} _{tot}=-{\hat {x}}{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}+{\hat {y}}{\frac {\partial H_{x}}{\partial z}}=-{\frac {1}{\mu }}\left({\hat {x}}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}+{\hat {y}}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}\right)}$ ；

假设介质是个绝缘体，传导电流密度 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 等于零，则根据总电流定律(A)和电弹性方程式(E)，

${\displaystyle \mathbf {J} _{tot}={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\epsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$ ；

假设导体的速度等于零，即动生电动势项目等于零，则根据合势方程式(D)，

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial t^{2}}}=0}$ 、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial t^{2}}}=0}$ 。

再应用磁向量定义式(B)，就可以得到磁场的波动方程式：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial t^{2}}}=0}$ 、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial t^{2}}}=0}$ 。

链式法则要求

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}}$ 、

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}={\frac {\partial w}{\partial t}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}=-V{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}}$ 。

所以，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{x}}{\mathrm {d} w^{2}}}-\mu \epsilon V^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{x}}{\mathrm {d} w^{2}}}=0}$ 、

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{y}}{\mathrm {d} w^{2}}}-\mu \epsilon V^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{y}}{\mathrm {d} w^{2}}}=0}$ 。

传播的速度为

${\displaystyle V=1/{\sqrt {\mu \epsilon }}}$ 。

设定磁导率为磁常数 ${\displaystyle \mu _{0}}$ ，电容率为电常数 ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ，则传播速度是电磁波传播于自由空间的速度。

类似地，应用合势方程式(D)，可以得到电场的波动方程式：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial t^{2}}}=0}$ 、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial t^{2}}}=0}$ 、

${\displaystyle E_{z}=-{\frac {\partial A_{z}}{\partial t}}-{\frac {\partial \phi }{\partial z}}}$ 。

注意到，${\displaystyle E_{z}}$ 可能不等于零。在尚未更清楚了解电荷密度的性质之前，马克士威不排除电场波为纵波的可能性。

现代推导

在自由空间里，黑维塞版的马克士威方程组的四个微分方程式为

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0}$ 、(1)

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ 、(2)

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ 、(3)

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$ ；(4)

其中，${\displaystyle \mu _{0}}$ 是磁常数，${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ 是电常数。

分别取公式 (2) 、(4) 的旋度，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}}$ 、

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {E} )=-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}}$ 。

应用一则向量恒等式

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {Z} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Z} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {Z} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {Z} }$ 是任意向量函数。

将公式 (1) 、(3) 代入，即可得到波动方程式：

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0}$ 、(5)

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0}$ ；(6)

其中，${\displaystyle c=c_{0}={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}}$ ［公尺／秒］是电磁波传播于自由空间的速度。

参阅

• 《论法拉第力线》
• 电磁波方程式
• 弯曲时空中的麦克斯韦方程组
• 非齐次的电磁波方程
• 马克士威应力张量
• 麦克斯韦方程组的历史
• 电磁学与经点光学时间表(Timeline of electromagnetism and classical optics)

参考文献

1. 马克士威, 詹姆斯, A dynamical theory of the electromagnetic field (pdf), Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1865, 155: 459–512 [2010-07-15], （原始内容存档 (PDF)于2011-07-28）
2. 马克士威, 詹姆斯, On physical lines of force (PDF), Philosophical Magazine, 1861 [2010-07-15], （原始内容 (pdf)存档于2009-06-12）
3. Yang, ChenNing. The conceptual origins of Maxwell's equations and gauge theory. Physics Today. 2014, 67 (11): 45–51. doi:10.1063/PT.3.2585.
4. 马克士威, 詹姆斯, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field: pp. 499, 1864 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Maxwell, James C.; Torrance, Thomas F., A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Eugene, OR: Wipf and Stock, March 1996, ISBN 1-57910-015-5
• Niven, W. D., The Scientific Papers of James Clerk Maxwell Vol. 1, New York: Dover, 1952