隐函数

在数学中，隐式方程（英语：implicit equation）是形同${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0}$的关系，其中${\displaystyle f}$是多元函数。比如单位圆的隐式方程是${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$。

隐函数（implicit function）是由隐式方程间接定义的函数，比如 ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$ 是由 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$ 确定的函数。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如${\displaystyle y=\cos(x)}$。

隐函数定理说明了隐式方程在什么情况下会给出定义良好的隐函数。

例子

反函数

隐函数的一个常见类型是反函数。若${\displaystyle f}$是一个函数，那么${\displaystyle f}$的反函数记作${\displaystyle f^{-1}}$, 是给出下面方程解的函数

${\displaystyle x=f(y)}$

用x表示y。这个解是

${\displaystyle y=f^{-1}(x).}$

直观地，通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法，反函数给出该方程对于${\displaystyle y}$的解

${\displaystyle R(x,y)=x-f(y)=0.\,}$

例子

1. 对数函数 ${\displaystyle \ln x}$ 给出方程${\displaystyle x-e^{y}=0}$或等价的${\displaystyle x=e^{y}}$的解${\displaystyle y=\ln x}$。 这里${\displaystyle f(y)=e^{y}}$并且${\displaystyle f^{-1}(x)=\ln x}$。
2. 朗伯W函数则可以解出${\displaystyle x-ye^{y}=0}$的${\displaystyle y}$值。

代数函数

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一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如，单变量 ${\displaystyle x}$ 的代数函数给出一个方程中 ${\displaystyle y}$ 的解。

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,}$

其中系数 ${\displaystyle a_{i}(x)}$ 为 ${\displaystyle x}$ 的多项式函数。

代数函数在数学分析和代数几何中扮演重要角色，我们再拿单位圆方程式来当作代数函数的范例：

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0.\,}$

那么 ${\displaystyle y}$ 的显函数解显然是：

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,}$

但其实我们不一定要把它的显函数解写出来，它也可以直接利用隐函数来表达。

对于y的二次、三次和四次方程，可以找到只包含有限次四则运算和开方运算的显函数解, 但这并不适用于包括五次在内的更高次数的方程（参见阿贝尔-鲁菲尼定理），例如：

${\displaystyle y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0.\,}$

但是，我们仍然可以以隐函数 y = g(x) 的方式来表达。

隐函数的导数

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法一

• 把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

示例

把一元隐函数${\displaystyle y=g(x)}$看作二元函数${\displaystyle f(x,y)=0}$，若欲求${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$，对${\displaystyle f}$取全微分，可得${\displaystyle df(x,y)=f_{x}dx+f_{y}dy=0}$，经过移项可得${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}}$

（式中${\displaystyle f_{x}}$表示${\displaystyle f(x,y)}$关于${\displaystyle x}$的偏导数${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$，以此类推）。

把2元隐函数${\displaystyle y=g(x,z)}$看作3元函数${\displaystyle f(x,y,z)=0}$，若欲求${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}}$，对${\displaystyle f}$取全微分，可得${\displaystyle df(x,y,z)=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz=0}$ 。

由于所求为${\displaystyle {\frac {\partial g(x,z)}{\partial x}}}$，令z为常数，即${\displaystyle dz=0}$，经过移项可得${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}}$

方法二

• 针对1元隐函数，把${\displaystyle y}$看作${\displaystyle x}$的函数，利用链式法则在隐函数等式两边分别对${\displaystyle x}$求导，再通过移项求得${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$的值。
• 针对2元隐函数，把${\displaystyle y,z}$看作${\displaystyle x}$的函数，利用链式法则在隐函数等式两边分别对${\displaystyle x}$求导，令${\displaystyle dz=0}$，再通过移项求得${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}}$的值。

示例

• 针对${\displaystyle y^{n}}$：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}y^{n}=n\cdot y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}}$

• 针对${\displaystyle x^{m}y^{n}}$：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{m}y^{n}=n\cdot x^{m}y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}+m\cdot x^{m-1}y^{n}}$

• 求${\displaystyle \ 12x^{7}-7x^{4}y^{3}+6xy^{5}-14y^{6}+25=10}$中y对x的导数。

为了方便辨别相应的导数部分，各项都以不同颜色分开（常数则以黑色表示）。

${\displaystyle {\color {Blue}12x^{7}}{\color {Red}-7x^{4}y^{3}}{\color {Green}+6xy^{5}}{\color {Brown}-14y^{6}}+25=10}$

1.两边皆取其相应的导数，得出

${\displaystyle {\color {Blue}12\cdot 7x^{6}}{\color {Red}-7\left(3x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}+4x^{3}y^{3}\right)}{\color {Green}+6\left(5xy^{4}{\frac {dy}{dx}}+y^{5}\right)}{\color {Brown}-14\cdot 6y^{5}{\frac {dy}{dx}}}+0=0}$

2.移项处理。

${\displaystyle {\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}={\color {Red}21x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Green}-30xy^{4}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Brown}+84y^{5}{\frac {dy}{dx}}}}$

3.提出导数因子。

${\displaystyle {\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}=\left({\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$

4.移项处理。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {{\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}}{{\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}}}}$

5.完成。得出其导数为${\displaystyle {\frac {84x^{6}-28x^{3}y^{3}+6y^{5}}{21x^{4}y^{2}-30xy^{4}+84y^{5}}}}$。

6.选择性步骤：因式分解。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {2\left(42x^{6}-14x^{3}y^{3}+3y^{5}\right)}{3y^{2}\left(7x^{4}-10xy^{2}+28y^{3}\right)}}}$

参见

• 反函数