阿廷环

阿廷环是抽象代数中一类满足降链条件的环，以其开创者埃米尔·阿廷命名。

定义

一个环${\displaystyle A}$称作阿廷环，若且唯若对每个由${\displaystyle A}$的理想构成的降链${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}\supset {\mathfrak {a}}_{2}\supset \ldots ,\supset {\mathfrak {a}}_{n}\supset \ldots }$，必存在${\displaystyle N\subset \mathbb {N} }$，使得对所有的${\displaystyle n,m\geq N}$都有${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{m}}$（换言之，此降链将会固定）。

将上述定义中的理想代换为左理想或右理想，可以类似地定义左阿廷环与右阿廷环，A是左（右）阿廷环若且唯若A在自己的左（右）乘法下形成一个左（右）阿廷模；对于交换环则无须分别左右。

例子

• 设${\displaystyle k}$为一个域，若环${\displaystyle A}$是布于${\displaystyle k}$上的有限维代数，则${\displaystyle A}$是阿廷环。

基本性质

若一个环${\displaystyle A}$是交换阿廷环，则满足下列性质：

• ${\displaystyle A}$是诺特环。
• 每个素理想皆是极大理想。
• ${\displaystyle A}$仅有有限个素理想。
• 对每个素理想的局部化诱导出同构 ${\displaystyle A{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\prod _{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {p}}}$。

就代数几何的观点，阿廷环的谱在拓朴上只是有限多个点，但其结构层可能带有幂零的元素，这就使得局部阿廷环成为描述无穷小变化量的代数语言。

参见条目

• 阿廷代数（英语：Artin algebra）
• 阿廷理想（英语：Artinian ideal）
• Serial module（英语：Serial module）
• Semiperfect ring（英语：Semiperfect ring）
• 葛仑斯坦环——交换诺特环，其关于每个素理想的局部化，内射维度皆有限
• 诺特环——不具无穷递升理想链的环

文献

• Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712--730.
• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X