葛仑斯坦环

在交换代数中，一个葛仑斯坦局部环是一个内射维度有限的交换、局部诺特环。一个葛仑斯坦环（英文：Gorenstein ring）是对每个素理想的局部化皆为葛仑斯坦局部环的交换环。葛仑斯坦环是科恩-麦考利环的特例，它与凝聚对偶性定理（塞尔对偶性定理的推广）有密切关系。

葛仑斯坦环以数学家丹尼尔·葛仑斯坦命名。

其它定义

对于局部环 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},k)}$，葛仑斯坦局部环的古典定义是：${\displaystyle R}$ 是科恩-麦考利环，而且存在 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ 中的 ${\displaystyle R}$-正则序列，使之生成一个不可约理想。在 ${\displaystyle R}$ 为有限维诺特环时，下述性质等价：

• ${\displaystyle R}$ 的内射维度有限，记为 ${\displaystyle n}$。
• 存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，当 ${\displaystyle i\neq n}$ 时，${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$，而且 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k}$。
• 存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，当 ${\displaystyle i>n}$ 时，${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$。
• 存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，对某个 ${\displaystyle i>n}$ 有 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$。
• 存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，当 ${\displaystyle i<n}$ 时，${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$，而且 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k}$。

此时 ${\displaystyle R}$ 是 ${\displaystyle n}$-维葛仑斯坦环。

非交换情形

若一个环（不一定交换）视为左 ${\displaystyle R}$-模及右 ${\displaystyle R}$-模的内射维度皆有限，则称之为葛仑斯坦环。

例子

• 完全交环
• 正则局部环

文献

• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge studies in advanced mathematics 8.
• N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6