超静定

在静力学里，当一个静态系统中能写出的所有静力平衡方程式的数量少于系统所有的未知变量（应力或力矩等）时，则称此系统为静不定的。此时由于静力平衡方程式不足以求得系统中所有的未知变量，系统处于静态却并不确定，故名为静不定；但实际上系统未知变量数与约束条件数相等，可以认为多出的这些条件使得原本静定的系统处于超稳定的状态，故也可称为超静定；称整个系统为静不定系统；无法求得的变量为静不定量。

根据牛顿运动定律，在一个二维空间问题中，静力平衡方程式为

• ${\displaystyle \sum {\vec {F}}=0\,\!}$ ：作用在物体上的力的向量总和等于零；也就是说

${\displaystyle \sum F_{x}=0\,\!}$ ：作用力之水平分量的总和等于零，

${\displaystyle \sum F_{y}=0\,\!}$ ：作用力之垂直分量的总和等于零，

• ${\displaystyle \sum {\vec {M}}=0\,\!}$ ：对任意一点的力矩总和等于零。

图 1 ，一个静不定的梁的自由体受力图

举例而言，如图右，作用在梁上的力 ${\displaystyle {\vec {F}}\,\!}$ ，造成了四只反应力为 ${\displaystyle V_{A},\ V_{B},\ V_{C},\ H_{A}\,\!}$ 。静力平衡方程式为

${\displaystyle \sum F_{x}=0}$ ：

${\displaystyle H_{A}-F_{H}=0\,\!}$ ，

${\displaystyle \sum F_{y}=0\,\!}$ ：

${\displaystyle V_{A}-F_{V}+V_{B}+V_{C}=0\,\!}$ ，

${\displaystyle \sum {\vec {M}}=0\,\!}$ ：

${\displaystyle F_{V}\cdot a-V_{B}\cdot (a+b)-V_{C}\cdot (a+b+c)=0\,\!}$ 。

这问题有四只力是未知数（变数） (${\displaystyle V_{A},\ V_{B},\ V_{C},\ H_{A}\,\!}$) 。但是，只有三个静力平衡方程式，所以目前我们无法求解这个静不定系统。为了确定系统中所有的变量，我们必须加入物体材料与形变的考量。

静定系统

如果，除去这梁在 B 点的支撑 ，就没有 ${\displaystyle V_{B}\,\!}$ 反应力，整个系统成为静定的。则解答为

${\displaystyle H_{A}=F_{H}\,\!}$ ，

${\displaystyle V_{C}={\frac {F_{v}\cdot a}{a+b+c}}\,\!}$ ，

${\displaystyle V_{A}=F_{v}-V_{C}\,\!}$ 。

如果，我们将 A 点的支撑改为滚子。那么，只剩下三只反应力作用在这梁上（没有 ${\displaystyle H_{A}\,\!}$ ）。但是，这梁现在可以作水平移动；这系统变为偏约束的。进一步研究，这问题有两个未知数，${\displaystyle V_{A}\,\!}$ 与 ${\displaystyle V_{C}\,\!}$。我们可以用 ${\displaystyle \sum F_{y}=0\,\!}$ 与 ${\displaystyle \sum {\vec {M}}=0\,}$ 这两个方程式来求解答。得到的答案与前面相同。可是，除非 ${\displaystyle F_{H}=0\,\!}$ ，方程式 ${\displaystyle \sum F_{x}=0\,\!}$ 无法被满足。

静不定度

图 2 ，一个3度静定系统。

图 3 ，一个静定稳定系统。

一个系统的静不定度表示的是系统中未知量多出系统静力方程式的数量，静不定度越大，表示系统“超稳定”的程度越高。静不定度${\displaystyle h\,\!}$的符号有三种形式：

• h < 0, 此时系统是不平衡的。
• h = 0, 此时系统是静定的。
• h > 0, 此时系统是静不定的。

一个系统的静不定度的表达式是 ${\displaystyle M-N\,\!}$。这里，

• ${\displaystyle M\,\!}$ 是系统所有未知变量的数量。
• ${\displaystyle N\,\!}$ 是系统能够写出的所有静力平衡方程式的数量。

计算静不定度的方法主要有计数法和重构法。计数法方便快捷；重构法则可以更深刻地理解系统的内在构成。下面详细解释计数法。

计数法：

这里主要处理二维问题。 对于一个二维桁架，首先需要数出其杆或部件数${\displaystyle p\,\!}$。 其次计算出能写出的所有静力方程式数目。对于一个静态物体，其满足三条静力方程式：水平受力平衡，垂直受力平衡和力矩平衡。所以可以写出 ${\displaystyle N=3*p}$

最后要求出系统所有未知量，或者说约束条件的个数${\displaystyle M\,\!}$。约束条件分为外约束条件${\displaystyle m\,\!}$和内约束条件${\displaystyle n\,\!}$；外约束条件指的是因与外界，如地面，基座等连结而出现的约束条件；相反地，内约束条件是指因系统内部的连结而出现的约束条件。对于与外部的连结，我们区分三种情况：

• 固定节：在平面中禁止所有的三个活动方式：平面和水平的移动以及旋转。故有三个约束条件，对应的三个未知量为水平和垂直的受力以及力矩。
• 球形铰：在平面中固定了水平和垂直方向上的移动，只允许旋转，故有两个约束条件，其对应的未知量为两个方向上的应力。
• 平面撑：在平面中只禁止垂直支撑面方向上的移动，允许顺著该支撑面的移动和旋转。故只有一个约束条件，对应垂直该支撑面的移动。

把所有外部链接所形成的约束条件相加，便可得到外约束条件数${\displaystyle m\,\!}$。 现在把所有外部链接去除，孤立内部的系统。对于内部的连结我们区分两种情况：

• 铰链：只允许围绕其轴的转动，禁止水平和垂直的移动。连带的约束条件数为2乘连结与该点的杆或部件的数量减一。
• 固定节：禁止平面内三种方式的活动。连带的约束条件数为3乘连结与该点的杆或部件的数量减一。

把所有内部链接形成的约束条件相加，便可得到内约束条件数${\displaystyle n\,\!}$。

于是就能算出该系统的静不定度为 ${\displaystyle h=M-N=m+n-N}$。

方法应用举例：对于图二的结构，我们认为整个框架即是一个部件。于是静力方程式数量为 ${\displaystyle N=3*1=3}$ 左下角的平面撑附带两个约束条件。右下角的球形铰附带一个约束条件。 去除所有外部链接后，发现没有内部链接，所以取内约束条件为零。 于是可以算出 ${\displaystyle h=(1+2)+3+0-3=3}$ 所以系统是3度静不定的。

对于图三的结构，我们数出有六个杆件。故静力方程式数量为 ${\displaystyle N=3*6=18}$ 左下角和右下角的平面撑各附带两个约束条件，所以外约束条件数量为${\displaystyle m=2+2=4}$。 去除两个外部链接后，发现有五个内部链接。四角的铰链各有两个杆件集结，所以各形成${\displaystyle 2*(2-1)=2}$个约束条件。而上边中间的铰链有四个杆件集结，所以有${\displaystyle 2*(4-1)=6}$个约束条件。于是内约束条件数量为${\displaystyle n=2*4+6=14}$ 求出静不定度为 ${\displaystyle h=4+14-18=0}$ 所以此系统为静定稳定结构。

参阅

• 结构工程学