莫比乌斯-坎特八边形

在几何学中，莫比乌斯－坎特八边形是一个复正多边形，其位于${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$复希尔伯特平面中由八个顶点和八个三元棱组成，是一个自身对偶的多边形^[2]。考克斯特将其命名为莫比乌斯－坎特八边形，用于共享复排布（英语：Complex configuration）结构，如莫比乌斯－坎特排布（英语：Möbius–Kantor configuration）。^[3]

莫比乌斯－坎特八边形
4个红色三角形和4个蓝色三角形分别代表其8条三元边
类型	八边形
对偶	自身对偶
边	8个3{}
顶点	8
施莱夫利符号	3{3}3
考克斯特符号（英语：Coxeter–Dynkin diagram）
对称群	3[3]3（英语：Binary_tetrahedral_group）, order 24 （谢泼德群）
特性	正、复
查 论 编

这种形状由杰弗里·科林·谢泼德（英语：Geoffrey Colin Shephard）于1952年发现，其将此形状根据其对称性以3(24)3表示，考克斯特将这种对称性计为₃[3]₃，其与24阶的二元四面体群（英语：Binary_tetrahedral_group）同构。^[4]

性质

莫比乌斯－坎特八边形是一种由8个顶点和8条棱所组成的几何结构，其在施莱夫利符号中可以用₃{3}₃来表示、在考克斯特记号中可以用来表示。与一般的八边形不同，莫比乌斯－坎特八边形位于复希尔伯特平面，且构成这种形状的棱每个棱阶连接了三个顶点，称为三元棱或三元边（Trion）^{[注 1]}，这种几何结构在施莱夫利符号中可以用₃{}来表示。^[5]

顶点座标

莫比乌斯－坎特八边形可以于${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$空间中给出，其为：

(ω,−1,0)	(0,ω,−ω2)	(ω2,−1,0)	(−1,0,1)
(−ω,0,1)	(0,ω2,−ω)	(−ω2,0,1)	(1,−1,0)

其中${\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$。

作为一种排布

莫比乌斯－坎特八边形₃{3}₃的排布矩阵（英语：Configuration_(polytope)）为：^[6]

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}8&3\\3&8\end{matrix}}\right]}$

实空间的代表

在实空间中，莫比乌斯－坎特八边形可以用四维空间的正十六胞体来代表，^[7]其共用了相同的8个顶点。当莫比乌斯－坎特八边形的8条三元边被绘制为三条独立的边时，即可在当莫比乌斯－坎特八边形中观察到正十六胞体的24条边。在下图中这8个三角形被以每个个分成一组，分别涂上蓝色和红色。下图中，B₄投影在两个颜色组之间以两个拥有不同对称性的方向进行投影。此外，所代表的实空间形状也可以是一个β₄的四维正轴形。^[7]

正投影图

考克斯特平面	B4		F4
图
对称性	[8]		[12/3]

参见

• 黑塞二十七面体、截半黑塞二十七面体：由莫比乌斯－坎特八边形组成的多面体。

注释

1. 在数学中，边或棱通常可以代表顶点皆只位在单一轴上并不涉及其他轴分量组成的几何结构，例如x轴上的(2,0)连接到(3,0)的棱，但若将每一个维度从实数推广至复数，则“轴”的概念可以被替换为高斯平面，这意味著棱不再只是一条线段，而可能是高斯平面上的一个区域。而三元边或三元棱则为连接三个顶点所构成复数空间的棱。这种结构无法存于实空间，在实空间中，三元棱对应的几何结构为三角形。

参考文献

1. Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2
2. Coxeter, 1991,^[1] p.30, 47
3. Coxeter, H. S. M., Shephard, G.C.; Portraits of a family of complex polytopes, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
4. Shephard, G.C.; Regular complex polytopes, Proc. London math. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), pp 82–97.
5. Complex Regular Polytopes,^[1] 11.1 Regular complex polygons p.103
6. Coxeter, Complex Regular polytopes, p.117, 132
7. Shephard, G.C. 1952,^[4] p.93