艾森斯坦判别法

艾森斯坦判别法(Eisenstein's criterion)是代数学中的一个定理，其名称由来为德国数学家费迪南·艾森斯坦，此定理给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。由高斯引理，这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。

艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$

如果存在质数p，使得

• p不整除a_n ，但整除其他所有a_i ；
• p²不整除a₀ ；

那么f(x)是不可约多项式。

例子

给定多项式g(x) = 3x⁴ + 15x² + 10，试确定它能否分解为有理系数多项式之积。

试用艾森斯坦判别法。素数2和3都不适合，考虑素数p = 5。5整除x的系数15和常数项10，但不整除首项3。而且5² = 25不整除10。所以g(x)在有理数域不可约。

有时候不能直接用判别法，或者可以代入y = x + a后再使用。

例如考虑h(x) = x² + x + 2。这多项式不能直接用判别法，因为没有素数整除x的系数1。但把h(x)代入为h(x + 3) = x² + 7x + 14，可立刻看出素数7整除x的系数和常数项，但7² = 49不整除常数项。所以有时通过代入便可以用到判别法。

艾森斯坦判别法得出的一个著名结果如下：

对素数p，p阶分圆多项式

${\displaystyle {\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1}$

在有理数域不可约。

要使用艾森斯坦判别法，先作代换x = y + 1。新的常数项是p，除首项是1外，其他项的系数是二项式系数${\displaystyle {p \choose k}={\frac {p!}{k!(p-k)!}}}$，k大于0，所以可以被p除尽。

初等证明

对多项式f(x)取模p，也就是把它的系数映射到有限体${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$上。这样它便化为${\displaystyle c\,x^{n}}$，其中c为非零常数。因为在体上的多项式有唯一分解，f模p时会分解为单项式。

如果f是在有理数上可约的，那么会有多项式g, h使得f = g h。从上可知g和h取模p分别为${\displaystyle d\,x^{k}}$和${\displaystyle e\,x^{n-k}}$，满足c = d e。因为g和h模p的常数项为零，这表示g和h的常数项均可被p整除，所以f的常数项a₀可以被p²整除，与f系数的假设矛盾。因此得证。

更进一步的解释

依据牛顿图的理论在其p进制数域，我们考虑一系列点的下凸集。

(0,1), (1, v₁), (2, v₂), ..., (n − 1, v_n-1), (n,0),

其中v_i是a_i关于p的最高次幂。对于一个艾森斯坦多项式，对0 < i < n,v_i至少为1，v₀ =1 v_n =0，固而它的牛顿图即点列的下凸集应当是一条从(0,1) to (n,0)的线段，其斜率为−1/n。