置换群

数学中，对一个给定的集合${\displaystyle M}$，所有由${\displaystyle M}$到自身的可逆映射构成的集合关于映射的合成构成一个群，称为${\displaystyle M}$的对称群，记为${\displaystyle S_{M}}$。${\displaystyle S_{M}}$的任一子群称为${\displaystyle M}$上的置换群（英语：permutation group）。

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同态 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循环群 · 幂零群 · 可解群 · 圈积 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24 子魔群（英语：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
查 论 编

如果${\displaystyle M}$是包含${\displaystyle n}$个元素的有限集，称其到自身的可逆映射为${\displaystyle n}$阶置换，其对称群${\displaystyle S_{M}}$称为${\displaystyle n}$阶对称群，记为${\displaystyle S_{n}}$。${\displaystyle S_{n}}$的任一子群亦为置换群。^[1]

置换群到被置换的元素的应用称为群作用；它在对称性和组合论以及数学的其他很多分支中有应用，也是研究晶体结构等所不可或缺的工具。

定义及基本性质

置换群皆为某个对称群的子群，它的所有元素都是一集合的置换。因而它的元素所构成的集合是所对应的对称群中关于映射的合成以及在到反元素的映射下封闭的一个子集，它亦需要包含该集合的恒等函数作为其单位元。

例子

置换通常写作轮换形式，例如，在轮换指标计算中，给定集合${\displaystyle M=\{1,2,3,4\}}$，${\displaystyle M}$的一个置换${\displaystyle g}$若为${\displaystyle g(1)=2,g(2)=4,g(4)=1}$和${\displaystyle g(3)=3}$，可以写作${\displaystyle (1,2,4)(3)}$，或者更常见的写作${\displaystyle (1,2,4)}$，因为${\displaystyle 3}$保持不变；若对象有单个字母或数字表示，逗号也被省去，所以可以记作${\displaystyle (1\ 2\ 4)}$。

常见的置换群

M = { 1 , 2 } {\displaystyle M=\{1,2\}}

${\displaystyle g_{1}=(1),g_{2}=(1\ 2)}$

M = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle M=\{1,2,3\}}

${\displaystyle (1),(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)}$

M = { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle M=\{1,2,3,4\}}

${\displaystyle (1),}$ ${\displaystyle (1\ 2),(1\ 3),(1\ 4),(2\ 3),(2\ 4),(3\ 4),}$ ${\displaystyle (1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2),(1\ 2\ 4),(1\ 4\ 2),(1\ 3\ 4),(1\ 4\ 3),(2\ 3\ 4),(2\ 4\ 3),}$ ${\displaystyle (1\ 2\ 3\ 4),(1\ 2\ 4\ 3),(1\ 3\ 2\ 4),(1\ 3\ 4\ 2),(1\ 4\ 2\ 3),(1\ 4\ 3\ 2),(1\ 2)(3\ 4),(1\ 3)(2\ 4),(1\ 4)(2\ 3)}$

参看

• 群作用
• 本原群
• 置换
• 轮换
• 交错群

参考

• John D. Dixon and Brian Mortimer. Permutation Groups. Number 163 in Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1996.
• Akos Seress. Permutation group algorithms. Cambridge Tracts in Mathematics, 152. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
• Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller and Peter M. Neumann. Notes on Infinite Permutation Groups. Number 1698 in Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
• Alexander Hulpke. GAP Data Library "Transitive Permutation Groups" （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

1. 韩士安，林磊. 近世代数（第二版）. 北京: 科学出版社. 2009: 44. ISBN 9787030250612.