环 (代数)

环（英文：Ring）是一种带有两个二元运算（抽象化的“加法”和“乘法”）、并且符合特定运算规则的集合。它抽象化了诸如整数、有理数、实数、复数、多项式、矩阵、函数、算子等等的代数结构。它是环论的主要研究对象，并且是构成各种抽象代数理论的重要基本概念。

环的具体定义并没有完全统一。不同研究方向的学者对于环是否要有乘法单位元有不同见解，在部份情况下甚至不要求乘法有结合律。然而除非明确声明，否则本条目所称的“环”是指有乘法单位元、乘法有结合律的环。关于乘法无单位元的环，请见伪环一文。

定义

给定一个集合 ${\displaystyle R}$ 以及两个定义在 ${\displaystyle R}$ 上的二元运算 ${\displaystyle +}$ 和 ${\displaystyle \times }$ ^{[注 1]}。如果 ${\displaystyle R}$ 、 ${\displaystyle +}$ 和 ${\displaystyle \times }$ 具有以下八个性质^{[注 2]}，则称 ${\displaystyle (R,+,\times )}$ ^{[注 3]}构成了一个环。

1. ${\displaystyle (R,+)}$ 是一个交换群：
   • 加法有结合律——对所有的 ${\displaystyle a,b,c\in R}$ ，都有：$${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$$
   • 加法有交换律——对所有的 ${\displaystyle a,b\in R}$ ，都有：$${\displaystyle a+b=b+a}$$
   • 有加法单位元——存在某个^{[注 4]} ${\displaystyle 0_{R}\in R}$ ，使得所有的 ${\displaystyle r\in R}$ ，都有： $${\displaystyle 0_{R}+r=r}$$
   • 有加法反元素——对所有的 ${\displaystyle r\in R}$ ，存在某个^{[注 4]} ${\displaystyle -r\in R}$ ，使得： $${\displaystyle -r+r=0_{R}}$$
2. ${\textstyle (R,\times )}$ 是一个有单位元的半群：
   • 乘法有结合律——对所有的 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in R}$ ，都有： $${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$$
   • 有乘法单位元——存在某个^{[注 4]} ${\displaystyle 1_{R}\in R}$ ，使得所有的 ${\displaystyle r\in R}$ ，都有：$${\displaystyle 1_{R}\times r=r\times 1_{R}=r}$$
3. 乘法对于加法满足分配律：
   • （左）分配律——对所有的 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in R}$ ，都有：$${\displaystyle a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)}$$
   • （右）分配律——对所有的 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in R}$ ，都有：$${\displaystyle (a+b)\times c=(a\times c)+(b\times c)}$$

环的乘法经常依照惯例^{[注 5]}，不会写出“ ${\displaystyle \times }$ ”这个符号。例如（左）分配律就可以写成：$${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$$此外，加法单位元也经常称为“零元素”或直接简称为“零”。

定义的分歧

环的定义的分歧通常在于是否要求乘法单位元的存在。在 1960 年代以前，多数抽象代数的教科书通常会采用埃米·诺特的定义，不要求乘法单位元存在。然而在 1960 年后，越来越多的著名教科书作者（例如：尼古拉·布尔巴基、大卫·艾森布德（英语：David_Eisenbud）、塞尔日·兰）开始将乘法单位元的存在性纳入定义中。不要求乘法单位元存在的作者，通常会将有乘法单位元的环称为单位环（ unital ring ）；反之，要求乘法单位元存在的作者，可能会将不含乘法单位元（ identity ）的环（ ring ）称为 rng ^{[注 6]}或伪环（ pseudo-ring ），或甚至干脆不提及任何没有单位元的环。

另外在交换代数的文献中，通常还会额外约定环的乘法要满足交换律。这类文献的作者通常会事先声明。

例子

• 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 、有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 、实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 和复数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ，连同寻常的加法和乘法，构成了一个环。它们的加法单位元是 ${\displaystyle 0}$ ，乘法单位元是 ${\displaystyle 1}$ ，是最典型的实际例子。
• 整系数多项式环 ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ 、有理系数多项式环 ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ ，实系数多项式环 ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ 、复系数多项式环 ${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$ ，连同多项式加法和乘法，构成一个环。它们的加法单位元也是 ${\displaystyle 0}$ ，乘法单位元也是 ${\displaystyle 1}$ 。更一般地，可以考虑任何环 ${\displaystyle R}$ 的多项式环 ${\displaystyle R[x]}$ 。
• 整系数有理函数 ${\displaystyle \mathbb {Z} (x)}$ 、有理系数有理函数 ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ，实系数有理函数 ${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$ 、复系数有理函数 ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$ ，连同有理函数的加法和乘法，构成一个环。它们的加法单位元依然是 ${\displaystyle 0}$ ，乘法单位元依然是 ${\displaystyle 1}$ 。更一般地，可以考虑任何环 ${\displaystyle R}$ 的有理函数环 ${\displaystyle R(x)}$ ；而“建构分式”的操作还是“分式体”以及更一般的“局部化”这些概念的起源。
• 大小为 ${\displaystyle n\times n}$ 的整系数矩阵 ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(\mathbb {Z} )}$ 、有理系数矩阵 ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(\mathbb {Q} )}$ 、实系数矩阵 ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(\mathbb {R} )}$ 、或复系数矩阵 ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(\mathbb {C} )}$，连同矩阵加法和矩阵乘法，构成一个环。它们的加法单位元是零矩阵 ：$${\displaystyle \mathbf {0} _{n}:={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0\\0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &0\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}$$乘法单位元则是单位矩阵 ：$${\displaystyle \mathrm {I} _{n}:={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}$$同样的，可以考虑任何环 ${\displaystyle R}$ 的矩阵环 ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(R)}$ 。矩阵环也是典型的非交换环。
• 如果集合 ${\displaystyle R}$ 只有一个元素，那 ${\displaystyle R}$ 只可能定义出唯一的一种环结构——零环^{[注 7]}（ Zero ring ）。

基本性质

• 零元素是唯一的
• 零乘以^{[注 8]}任何东西都是零
• 乘法单位元是唯一的
• 任何元素如果有乘法反元素，那是唯一的
• 多个环元素的分配律：$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{i}b_{j}}$$
• 环元素的整数倍与整数次方——整数可以用来当作是任何环的系数，只要定义以下的系数运算规则：$${\displaystyle na:=\underbrace {a+a+\cdots a} _{n{\text{ 次}}}\qquad (-n)a:=\underbrace {(-a)+(-a)+\cdots (-a)} _{n{\text{ 次}}}\qquad 0a:=0_{R}}$$这种系数运算规则和普通系数的概念有许多一致性，例如：
  • ${\displaystyle n(ab)=(na)b=a(nb)}$
  • ${\displaystyle (nm)a=n(ma)=m(na)}$
  • ${\displaystyle n(a+b)=na+nb}$
  • ${\displaystyle (n+m)a=na+ma}$

而类似地如果把多次相加改成多次相乘，那么可以^{[注 9]}定义幂运算：$${\displaystyle a^{n}:=\underbrace {a\times a\times \cdots a} _{n{\text{ 次}}}\qquad a^{-n}:=\underbrace {a^{-1}\times a^{-1}\times \cdots a^{-1}} _{n{\text{ 次}}}\qquad a^{0}:=1_{R}}$$

• 二项式展开——如果 ${\displaystyle ab=ba}$ ，那么它们总和的次方可以这样计算：$${\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+{\binom {n}{2}}a^{n-2}b^{2}+\cdots +{\binom {n}{n-2}}a^{2}b^{n-2}+{\binom {n}{n-1}}ab^{n-1}+b^{n}=\sum _{i+j=n}{\frac {n!}{(i!)(j!)}}a^{i}b^{j}}$$这可以推广到多个元素 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}$ 总和的次方——如果任两个元素的 ${\displaystyle a_{i}}$ 和 ${\displaystyle a_{j}}$ 的乘法都可以交换（即 ${\displaystyle a_{i}a_{j}=a_{j}a_{i}}$ ），那么：$${\displaystyle (a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})^{n}=\sum _{i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{m}=n}{\frac {n!}{(i_{1}!)(i_{2}!)\cdots (i_{n}!)}}a_{1}^{i_{1}}a_{2}^{i_{2}}\cdots a_{m}^{i_{m}}}$$

基本的相关概念

特殊的环元素

在初等环论中，以下四类型的环元素在任意的环^{[注 10]}中都有定义，它们是经常被讨论的对象：

• 可逆元（ Unit 或 Invertible element ）：有乘法反元素的环元素。
• 零因子（ Zero divisor ）：相乘后为零的非零元素；相当于“零的因数”。
• 幂零元（ Nilpotent ）：自乘多次后变成零的环元素。
• 幂等元（ Idempotent ）：自乘任意多次都不变的环元素。

环同态、核、像

主条目：环同态

在环论中，环同态描述了环与环之间的关系。一个从环 ${\displaystyle R}$ 送往环 ${\displaystyle S}$ 的环同态（ Ring homomorphism ）${\displaystyle f:R\to S}$ 简单来说是一种“维持环结构^{[注 11]}”的映射；而具体来说，${\displaystyle f}$ 要具有以下三个性质：

• 维持加法的结构——对所有的 ${\displaystyle a,b\in R}$ ，都有：$${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$$
• 维持乘法的结构——对所有的 ${\displaystyle a,b\in R}$ ，都有：$${\displaystyle f(ab)=f(a)(b)}$$
• 维持单位元的结构——也就是：$${\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$$

对一个环同态 ${\displaystyle f}$ 来说，有以下两个密切相关的概念：

• 核（ Kernel ）——送到零元素的那些元素：$${\displaystyle \mathrm {Ker} (f):=f^{-1}(0_{S})=\{a\in R\mid f(a)=0_{S}\}\subseteq R}$$
• 像（ Image ）——把元素都送过去后的结果：$${\displaystyle \mathrm {Im} (f):=f(R)=\{f(a)\in S\mid a\in R\}\subseteq S}$$

子环、（双边）理想、商环

主条目：理想 (环论)、商环和子环

给定一个环 ${\displaystyle R}$ ，我们可以考虑它的：

• 子环（ Subring ）——某个送往 ${\displaystyle R}$ 的环同态在${\displaystyle R}$ 内的像。^{[注 12]}

• 双边理想（ Two side ideal ）——某个定义在${\displaystyle R}$ 上的环同态的核。
• 商环（ Quotient ）——（同构意义下）某个定义在${\displaystyle R}$ 上的环同态的像。^{[注 13]}

一个环的环同态、子环、双边理想、商环共同刻划了环的结构。

具有额外性质的环

交换环（ commutative ring ）

如果一个环 ${\displaystyle R}$ 还额外满足：

乘法的交换律：对于所有 ${\textstyle a,b\in R}$：

$${\displaystyle a\times b=b\times a}$$

则称 ${\displaystyle R}$ 是一个交换环。交换环是最被深入研究的一类环，其中包括以下几类：

• 整环（ Integral domain ）：没有零因子的交换环。
• 唯一分解整环（ Unique factorization domain ）：可以唯一分解任何元素的整环。
• 主理想整环（ Principal ideal domain ）：所有理想都是主理想的整环。
• 欧几里得整环（ Euclidean domain ）：可以进行欧几里得演算法（辗转相除法）的整环。
• 体（ Field ）：非零元素都有乘法反元素的交换环。
• 代数闭体（ Algebraically closed field ）：所有多项式^{[注 14]}都有根的体。

非交换环

所谓的非交换环实际上是指“不假设是交换环”的环，这样子的环有：

• 除环（ Division ring ）：非零元素都有乘法反元素的环（可能不交换）。
• 单环（ Simple ring ）：没有非平凡双边理想的环。

从已知的环建构出其他环的方式

直积

主条目：环的直积（英语：Product of rings）

给定数个环 ${\displaystyle R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}}$ ，可以考虑这些环作为集合的笛卡尔积：

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}:=R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{n}=\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\mid a_{1}\in R_{1},a_{2}\in R_{2},\dots ,a_{n}\in R_{n}\}}$$可以在这个集合上用以下方式定义加法和乘法：

$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}):=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{n})}$$$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\times (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}):=(a_{1}\times b_{1},a_{2}\times b_{2},\dots ,a_{n}\times b_{n})}$$这使得${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}}$构成一个环。称为 ${\displaystyle R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}}$ 的直积（ Direct product ）；它的法单位元是 ${\displaystyle (0_{R_{1}},0_{R_{2}},\dots ,0_{R_{n}})}$ 乘法单位元是 ${\displaystyle (1_{R_{1}},1_{R_{2}},\dots ,1_{R_{n}})}$

这种概念可以推广到无限多个环、甚至不可数多个环的直积。

多项式环

主条目：多项式环

给定一个环 ${\displaystyle R}$ ，可以考虑以这个环作为系数的多项式：$${\displaystyle R[x]:=\left\{\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}~{\Bigg |}~a_{i}\in R,n=1,2,3,\dots \right\}}$$可以仿照一般的实系数多项式运算规则，为这个集合定义加法和乘法：$${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}\right):=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})x^{i}}$$$${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)\times \left(\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}\right):=\sum _{i=0}^{n+m}\left(\sum _{j=0}^{i}a_{j}b_{i-j}\right)x^{i}}$$在这样的运算规则下， ${\displaystyle R[x]}$ 被称为是 ${\displaystyle R}$ 的多项式环；它的加法单位元以及乘法单位元与 ${\displaystyle R}$ 相同。

矩阵环

主条目：矩阵环和方块矩阵

给定一个环 ${\displaystyle R}$ ，可以考虑以这个环作为系数、大小为 ${\displaystyle n\times n}$ 的矩阵：

$${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(R):=\left\{{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}~{\bigg |}~a_{i,j}\in R,\quad i,j=1,2,\dots ,n\right\}}$$同样可以仿照一般的矩阵运算规则，为这个集合定义加法和乘法：

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}+{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\dots &b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1}&a_{1,2}+b_{1,2}&\dots &a_{1,n}+b_{1,n}\\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&\dots &a_{2,n}+b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}+b_{n,1}&a_{n,2}+b_{n,2}&\dots &a_{n,n}+b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}\times {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\dots &b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}:={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,n}\\\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}$$那么 ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(R)}$ 在这样的运算规则下，构成一个环。它的加法单位元是零矩阵 ：$${\displaystyle \mathbf {0} _{n}:={\begin{bmatrix}0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}$$乘法单位元则是单位矩阵 ：$${\displaystyle \mathrm {I} _{n}:={\begin{bmatrix}1_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\0_{R}&1_{R}&\dots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\dots &1_{R}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}$$同样的，可以考虑任何环 ${\displaystyle R}$ 的矩阵环 ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(R)}$ 。矩阵环也是典型的非交换环。

局部化与分式体

主条目：环的局部化

局部化的概念并不是对任何的环都有效，在大多数时候，只会考虑交换环的局部化。粗略地说，局部化是“加入某些元素的乘法反元素”；而分式体则是透过“加入所有非零元素的乘法反元素”来定义。分式体最著名的例子就是从整数构造有理数的过程。

更抽象地讲，一个环对某些元素的局部化是“使得这些元素可逆的、最小的环”；在这种意义下，分式体就是“使得非零元素可逆的、最小的环”。而这个概念实际上就是——“包含这个环的最小的体”。

交换环与代数几何的关系

交换环是乘法满足交换律的环。这种环和代数几何有著深远的关联性，体现在交换环范畴 ${\displaystyle \mathbf {CRing} }$ 和仿射概形范畴 ${\displaystyle \mathbf {AffSch} }$ 有著如下对偶性：

$${\displaystyle \mathbf {CRing} ^{\mathrm {op} }\cong \mathbf {AffSch} }$$

这种对偶性使得交换环的代数性质可以转换成仿射概形的几何性质。

参见

• 模
• 理想
• 代数
• 伪环