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态射(英语:Morphism)在数学中是指两个数学结构之间保持结构的一种映射。
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许多当代数学领域中都有态射的身影。例如,在集合论中,态射就是函数;在群论中,它们是群同态;而在拓扑学中,它们是连续函数;在泛代数(universal algebra)的范围,态射通常就是同态。
对态射和它们定义于其间的结构(或对象)的抽象研究构成了范畴论的一部分。在范畴论中,态射不必是函数,而通常被视为两个对象(不必是集合)间的箭头。不像映射一个集合的元素到另外一个集合,它们只是表示域(domain)和陪域(codomain)间的某种关系。
尽管态射的本质是抽象的,多数人关于它们的直观(事实上包括大部分术语)来自于具体范畴的例子,在那里对象就是有附加结构的集合而态射就是保持这种结构的函数。
有两个操作定义在每个态射上,域(domain,或源)和陪域(codomain,或目标)。
态射经常用从域到他们的陪域的箭头来表示,例如若一个态射f域为X而陪域为Y,它记为f : X → Y。所有从X到Y的态射的集合记为homC(X,Y)或者hom(X, Y)。(有些作者采用MorC(X,Y)或Mor(X, Y))。
对于任意三个对象X,Y,Z,存在一个二元运算hom(X, Y)×hom(Y, Z) → hom(X, Z)称为复合。f : X → Y和g : Y → Z的复合记为或gf(有些作者采用fg)。态射的复合经常采用交换图来表示。例如
态射必须满足两条公理:
当C是一个具体范畴的时候,复合只是通常的函数复合,恒等态射只是恒等函数,而结合律是自动满足的。(函数复合是结合的。)
注意域和陪域本身是决定态射的信息的一部分。例如,在集合的范畴,其中态射是函数,两个函数可以作为有序对的集合相等,但却有不同的陪域。这些函数从范畴论的目的来说被视为不同。因此,很多作者要求态射类hom(X, Y)是不交的。实际上,这不是一个问题,因为如果他们不是不交的,域和陪域可以加到态射上,(例如,作为一个有序三元组的第二和第三个分量),使得它们不交(互斥,disjoint)。
注意每个同构都是双同态,但不是每个双同态都是同构。例如,交换环的范畴中,包含映射Z → Q是一个双同态,但不是一个同构。如果在一个范畴中每个双同态都是同构,则这个范畴称为一个平衡范畴。例如,集合是一个平衡范畴。
更多的例子参看范畴论条目。
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