涡量

涡量，也称为涡度，是一个流体力学的概念，用以描述流体的旋转情况。数学上，涡度${\displaystyle \zeta }$是描述速度场 ${\displaystyle {\vec {v}}}$的旋度，是一个向量场。

${\displaystyle {\vec {\zeta }}=\nabla \times {\vec {v}}.}$

在气象学之中所考虑的流体就是大气，实际上通常就仅考虑涡度的铅直分量；另外，由于大气的速度场是以静止地球为参考坐标，故亦称为相对涡度。当气团的相对涡度为正值时，表示该气团出现逆时针转动；反之，相对涡度负值则为顺时针转动。^[1]

如果把地球转动都一并考虑的话，涡度就被称为绝对涡度；而绝对涡度与大气厚度的乘积一般而言为常数。^[2]

流体力学

与环量的关系

由环量定义以及斯托克斯定理，流体中的涡度${\displaystyle \zeta }$与环量${\displaystyle \Gamma }$有以下关系：

${\displaystyle \Gamma =\int \!\!\!\int _{S}{\vec {\zeta }}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}}$

以微分形式表示，亦即涡度相当于每单位面积所具有的环量：

${\displaystyle \zeta ={\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} S}}}$^{[来源请求]}

解释

对于二维流体而言，其涡度向量垂直于流体平面。而若有一流体绕著一个轴心刚体旋动的话，则其涡度值为角速度之两倍；故对这样的流体而言，若涡度值为零的话则必为非旋转流体。但是，非旋转流体仍然可以具有非零值的角速度，如一绕著轴心绕转时、其切线速度刚好正比于流体与轴心距离之倒数的流体，其涡度为零。

形象化表示：若在流场之内加入一微小固体于其中，该固体除了顺著流线移动之外、亦会转动的话，则该流场的涡度值非零（如右图）。

普遍而言，对黏度低（雷诺数较高）的流体来说，涡度是个相当有用的物理量。在这些情况下，无论速度场有多复杂，除了一小部分空间外、涡度场均可较准地近似为零。这个近似法对二维无黏性的流体而言是正确的，皆因这样的流体之流线场可以透过复分析而解得。

对于任何流体，涡度场亦可以透过解与有关速度的方程式之旋度而求得。假若流体是不可压缩的话（马赫数较低），考卢力平衡则可得出下列方程式：

${\displaystyle {\mathrm {D} {\vec {\zeta }} \over \mathrm {D} t}={\vec {\zeta }}\cdot \nabla v+\nu \nabla ^{2}{\vec {\zeta }}}$

其中：

${\displaystyle t}$为时间；

${\displaystyle v}$为速度；

${\displaystyle \nu }$为黏度。

即使就真实流体而言，涡度仍然是相当有用的物理量：例如可以透过涡度可以把无黏性流体模型微扰至真实流体。另外，流体的黏性会使涡度从原先的细小区域扩散开去；对于黏度高的流体，其涡度几乎会扩散至整个流体而使得其涡度场非常复杂。

与涡度相关的物理量有涡旋曲线，这些曲线的每一点均相切于该点的涡度；而涡旋管则是由通过一封闭曲线上每一点的涡旋曲线所组成的封闭面。^[3]涡旋管的强度就是通过该面的涡度量积分；由于涡度之散度为零，故涡旋管强度在管上各处相等。根据赫尔姆霍茨定理，无黏性流体之涡旋管强度亦不随著时间而改变（黏度会令流体出现摩擦损耗因而随时间改变）。

另外，就三维流体而言，延长涡旋曲线可导致流体总涡度增加，亦即所谓的涡旋伸展。在浴缸去水口出现的涡旋、以致龙卷风的形成等都是实际例子。

涡度方程式

透过纳维-斯托克斯方程可以找到流体速度，其方程式为：

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} {\vec {v}}}{\mathrm {D} t}}=-\nabla p+\nabla \cdot \mathbb {T} +\rho {\vec {f}}}$

展开速度的物质导数并找出旋度，则涡度的物质导数可以写成：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\vec {\zeta }}}{\mathrm {D} t}}={\vec {\zeta }}\cdot \left(\nabla {\vec {v}}\right)-{\vec {\zeta }}\left(\nabla \cdot {\vec {v}}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nabla \times \left({\frac {\nabla \cdot \mathbb {T} }{\rho }}\right)+\nabla \times {\vec {f}}}$

其中：

${\displaystyle \rho }$为流体密度；

${\displaystyle p}$为流体压力；

${\displaystyle \mathbb {T} }$为黏度应力张量；

${\displaystyle {\vec {f}}}$为作用于流体的外力。

气象学的涡度

在气象学应用之中，涡度是用来描述气流相对于地面之水平方向旋转的物理量，其方向可以由右手定则来得知：若气流以逆时针转动则涡度指离地面、顺时针转则指向地面。是故，在北半球的气旋之涡度值为正、反气旋为负；而在南半球，则气旋为负、反气旋为正。

涡度的数学表达式可以写成

${\displaystyle \zeta ={\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}}$

其中：

${\displaystyle u}$为经向（x）速度；

${\displaystyle v}$为纬向（y）速度。

一般而言，上述表达式所指的是相对涡度；而在同一点中的绝对涡度则可藉加上科里奥利量而求得，亦即为地球本身的涡度与空气相对于地球涡度之总和。科里奥利量只与纬度相关，其数学表达式则为${\displaystyle f=2\Omega \sin \theta }$。

一个常用的相关物理量为位涡度。绝对涡度本身会随著所在地点空气柱高度之变化而改变；但如果将绝对涡度除以空气柱的高度的话，对于绝热流而言则可得出一常量（即位涡度）。以数学表达式示之：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \left(f+\zeta \right)}{\mathrm {D} h}}=0}$

其中：

${\displaystyle h}$为空气柱高度，由两个参照等位温面决定之。

应用

中纬度的罗士比波是位涡度守恒的一个例子。空气向南移动时，当科里奥利量减弱到一定程度时，为保持守恒则相对涡度增加，随之然气流作逆时针转动，最终转向北移动；而当科里奥利量增加到一定程度时，基于守恒相对涡度随之下际并使气流作顺时针转动，并最终转向南移动。这个过程不断重复，而形成一个个向西传递的波动。这样的波动就被称为罗士比波。^[4]

参考文献

1. Panofsky, Hans. Introduction to Dynamic Meteorology. University Park,Pennsylvania: Pennsylvania State University. 1958.
2. 正野重方. 動力氣象學. 吴伯雄译. 中国北京: 科学出版社. 1960.
3. 氣象名詞查詢表. 台湾中央气象局. [2009-05-08]. （原始内容存档于2017-11-24）.
4. Rossby waves (PDF). 华盛顿大学. [2009-06-19]. （原始内容存档 (PDF)于2018-12-22）.