泊松方程

泊松方程（法语：Équation de Poisson）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程式，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。^[1]

方程的叙述

泊松方程式为

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$

在这里${\displaystyle \Delta }$代表的是拉普拉斯算子，而${\displaystyle f}$和${\displaystyle \varphi }$可以是在流形上的实数或复数值的方程式。当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为${\displaystyle {\nabla }^{2}}$，因此泊松方程通常写成

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f}$

在三维直角坐标系，可以写成

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$

如果有${\displaystyle f(x,y,z)}$恒等于0，这个方程式就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

${\displaystyle \Delta \varphi =0.\!}$

泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程（英语：Screened Poisson equation）。现在也发展出很多种数值解，如松弛法（英语：relaxation method）（一种迭代法）。

数学表达

通常泊松方程式表示为

${\displaystyle -\Delta \varphi =f}$

这里${\displaystyle \Delta }$代表拉普拉斯算子，${\displaystyle f}$为已知函数，而${\displaystyle \varphi }$为未知函数。当${\displaystyle f=0}$ 时，这个方程被称为拉普拉斯方程。

为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta \varphi =f&{\text{in}}\ \Omega \\\varphi =g&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}$

其中 ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ 为有界开集。

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:

${\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{2\pi }}\ln |x|&n=2\\{\dfrac {1}{n(n-2)\omega _{n}}}{\dfrac {1}{|x|^{n-2}}}&n\geq 3\end{cases}}}$

其中${\displaystyle \omega _{n}}$为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积${\displaystyle (\Phi *f)}$得到 ${\displaystyle -\Delta \varphi =f}$的解。

为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数

${\displaystyle G(x,y)=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y)}$

${\displaystyle \phi ^{x}}$ 为一个校正函数，它满足

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta \phi ^{x}=0&{\text{in}}\ \Omega \\\phi ^{x}=\Phi (y-x)&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}$

通常情况下${\displaystyle \phi ^{x}}$是依赖于${\displaystyle \Omega }$。

通过 ${\displaystyle G(x,y)}$可以给出上述边界条件的解

${\displaystyle u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G}{\partial \nu }}(x,y)\mathrm {d} \sigma (y)+\int _{\Omega }f(y)G(x,y)\mathrm {d} y}$

其中${\displaystyle \sigma }$ 表示${\displaystyle \partial \Omega }$上的曲面测度。

此方程的解也可通过变分法得到。

静电学

在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很实际的问题，因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电位的问题。在国际单位制（SI）中：

${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}}$

此${\displaystyle \Phi \!}$代表电势（单位为伏特），${\displaystyle \rho \!}$是体电荷密度（单位为库仑/立方公尺），而${\displaystyle \epsilon _{0}\!}$是真空电容率（单位为法拉/公尺）。

如果空间中有某区域没有带电粒子，则

${\displaystyle \rho =0,\,}$

此方程式就变成拉普拉斯方程：

${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =0.}$

高斯电荷分布的电场

如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度 ${\displaystyle \rho (r)}$：

${\displaystyle \rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

此处，Q代表总电荷

此泊松方程式：${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}}$ 的解Φ(r)则为

${\displaystyle \Phi (r)={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}$

erf(x)代表的是误差函数.

注意：如果r远大于σ，erf(x)趋近于1，而电场Φ(r)趋近点电荷电场 ${\displaystyle {1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{Q \over r}}$；正如我们所预期的。

参阅

• 离散泊松方程（英语：Discrete Poisson equation）
• 泊松-玻尔兹曼方程
• 泊松方程的唯一性定理（英语：Uniqueness theorem for Poisson's equation）

参考文献

引用

1. Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E. (编), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer: 503, 2005 [2015-05-30], ISBN 9780922152766, （原始内容存档于2020-11-20）.

来源

• Poisson Equation （页面存档备份，存于互联网档案馆） at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Poisson equation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Poisson's equation （页面存档备份，存于互联网档案馆） on PlanetMath.