五维正轴体

五维正轴体（Pentacross），又称正三十二超胞体（Triacontaditeron），是3个五维正多超胞体之一，是五维的正轴体，四维正十六胞体、三维正八面体、二维正方形的五维类比，由10个顶点、40条棱、80个正三角形面、80个正四面体胞、32个正五胞体超胞组成，施莱夫利符号{3,3,3,4}，顶点图为正十六胞体。同时，它也是考克斯特所归类的2₁₁多胞形。

五维正轴体 正三十二超胞体 （32-超胞） 5-正轴体
类型	五维凸正多胞体
家族	正轴体
维度	5
对偶多胞形	五维超正方体
类比	正八面体
识别
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tac
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	{3,3,3,4} {33,4} {3,3,31,1} {3,3,4}+{} {3,4}+{4}
性质
四维胞	32 {3,3,3}
胞	80 (3.3.3)
面	80 {3}
边	40
顶点	10
特殊面或截面
皮特里多边形	十边形
组成与布局
顶点图	正十六胞体
对称性
对称群	BC5, [3,3,3,4]
特性
凸
查 论 编

几何性质

五维正轴体是五维超正方体的对偶，施莱夫利符号{3,3,3,4}意味着每个维脊（即面）处有4个正五胞体相交，顶点处都有16个正五胞体相交，顶点图是正十六胞体，每条棱处都有8个正五胞体相交，棱图是正八面体。对于边长为a的五维正轴体，其超胞积为${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}a^{5}}{30}}}$，表胞积是${\displaystyle {\frac {16a^{4}}{3}}}$。

顶点坐标

以中心为原点建立四维直角坐标系，则以√2为棱长的正三十二超胞体顶点坐标为 (±1,0,0,0,0), (0,±1,0,0,0), (0,0,±1,0,0), (0,0,0,±1,0), (0,0,0,0,±1)

对称性及结构

五维正轴体作为五维的正轴形，与五维超正方体对偶，拥有BC₅（立方形-正轴形对称性），对应施莱夫利符号{3,3,3,4}，考斯特-迪肯符号。同时，它也可被看作是正五胞体反棱柱（即上下两正五胞体呈对偶式排列，再由正五胞体链接1个正五胞体的顶点和另一正五胞体的正四面体胞形成的棱柱），具有更低的对称性D₅，对应施莱夫利符号[3^2,1,1] 。如果我们把其对偶五维超立方体看做低对称性的五维超长方体的话，其亦可被看作是五维的长菱体（英语：rhombic fusil），可能有多种不同对称性。

名称	考克斯特符号（英语：Coxeter diagram）	施莱夫利符号	对称性（英语：Coxeter notation）	群阶	顶点图
正三十二超胞体		{3,3,3,4}	[3,3,3,4]	3840
交错五维正轴体		{3,3,31,1}	[3,3,31,1]	1920
五维长菱体（英语：rhombic fusil）
		{3,3,3,4}	[4,3,3,3]	3840
		{3,3,4}+{}	[4,3,3,2]	768
		{3,4}+{4}	[4,3,2,4]	384
		{3,4}+{}+{}	[4,3,2,2]	192
		{4}+{4}+{}	[4,2,4,2]	128
		{4}+{}+{}+{}	[4,2,2,2]	64
		{}+{}+{}+{}+{}	[2,2,2,2]	32

可视化

正三十二超胞体可以以不同角度平行投影到不同的考克斯特平面（英语：Coxeter plane）上：

正交投影

考克斯特平面（英语：Coxeter plane）	B5	B4 / D5	B3 / D4 / A2
图像
二面体对称群	[10]	[8]	[6]
考克斯特平面	B2	A3
图像
二面体对称群	[4]	[4]

这是正三十二超胞体五维到四维的施格莱尔投影（英语：Schlegel diagram）的四维到三维的球极投影的三维到二维的透视投影。10对4条棱在球极投影中成为了10个圆，其中两个圆成为了直线，因为它们通过了投影的中心。

参考

• H.S.M. 考克斯特:
  • H.S.M. 考克斯特, Regular Polytopes, 第三版, Dover New York, 1973
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss参与编辑, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]（页面存档备份，存于互联网档案馆）
    • (Paper 22) H.S.M. 考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. 考克斯特, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Paper 24) H.S.M. 考克斯特, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• 诺曼·约翰（英语：Norman Johnson (mathematician)） Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • N.W.约翰: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)
• Klitzing, Richard. 5D uniform polytopes (polytera) x3o3o3o4o - tac. bendwavy.org.

外部链接

• Olshevsky, George, Cross polytope at Glossary for Hyperspace.
• Polytopes of Various Dimensions（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Multi-dimensional Glossary（页面存档备份，存于互联网档案馆）

五维正多胞体
五维正六胞体	五维超正方体	五维正三十二胞体
{3,3,3,3}	{4,3,3,3}	{3,3,3,4}