极大与极小元

数学分支序理论中，预序集子集${\displaystyle S}$的极大元（英语：maximal elements）不小于${\displaystyle S}$的任何元素。极小元（minimal elements）可对偶地（英语：Duality (order theory)）定义，其不大于${\displaystyle S}$的任何元素。

提示：此条目页的主题不是最大与最小元。

60的因数集${\displaystyle P}$，以整除关系为偏序，所成的哈斯图。红色子集${\displaystyle S=\{1,2,3,4\}}$有两个极大元${\displaystyle 3}$、${\displaystyle 4}$和一个极小元${\displaystyle 1}$。${\displaystyle 1}$同时也是最小元。

极大和极小的条件比最大和最小弱。预序集的子集${\displaystyle S}$的最大元需要“大于或等于”${\displaystyle S}$的全体元素（最小元同样为其对偶），极大元则衹需“不小于”（例如不可比较（英语：Comparability））。若将预序集限缩至偏序集，则至多衹有一个最大元和一个最小元，但极大、极小元皆可有多于一个。^[1][2]但在全序集上，最大等价于极大，最小亦等价于极小。

以集族

${\displaystyle S:=\left\{\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\},\{2,3,5\}\right\}}$

为例，其上的偏序为包含关系。当中${\displaystyle \{1,2\}}$极小，因为不包含族中任何其他集合，反之${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$极大，因为不被其他集合包含。${\displaystyle \{1,2,3\}}$则既非极小亦非极大，但${\displaystyle \{2,3,5\}}$同时为极小、极大。相比之下，${\displaystyle S}$无最大元和最小元。

定义

设${\displaystyle (P,\leq )}$为预序集，又设${\displaystyle S\subseteq P}$，则${\displaystyle S}$中关于${\displaystyle \,\leq \,}$的极大元定义为满足以下性质的元素${\displaystyle m\in S}$：

若有${\displaystyle s\in S}$使${\displaystyle m\leq s,}$ 则必有${\displaystyle s\leq m.}$

与之类似，${\displaystyle S}$中关于${\displaystyle \,\leq \,}$的极小元是满足以下性质的元素${\displaystyle m\in S}$：

若有${\displaystyle s\in S}$使${\displaystyle s\leq m,}$ 则必有${\displaystyle m\leq s.}$

等价地，亦可将${\displaystyle S}$关于${\displaystyle \,\leq \,}$的极小元定义为${\displaystyle S}$关于${\displaystyle \,\geq \,}$的极大元，其中对任意${\displaystyle p,q\in P}$，${\displaystyle q\geq p}$当且仅当${\displaystyle p\leq q}$。

若无明示子集${\displaystyle S}$，则所谓极大元预设是${\displaystyle P}$的极大元。

若预序集${\displaystyle (P,\leq )}$实为偏序集^{[注 1]}，或者限缩到${\displaystyle (S,\leq )}$是偏序集，则${\displaystyle m\in S}$为极大当且仅当${\displaystyle S}$无严格较${\displaystyle m}$大的元素。换言之，不存在${\displaystyle s\in S}$使${\displaystyle m\leq s}$及${\displaystyle m\neq s.}$ 将本段的${\displaystyle \,\leq \,}$号一律换成${\displaystyle \,\geq \,}$就得到极小元的描述。

存在性

极大/极小元不必存在。

• 例一：考虑实数系${\displaystyle \mathbb {R} }$的区间${\displaystyle S=[1,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$。对任意元素${\displaystyle m\in S}$，${\displaystyle s=m+1}$仍在${\displaystyle S}$中，但${\displaystyle m<s}$，因此没有元素${\displaystyle m}$为极大。
• 例二：考虑有理数系${\displaystyle \mathbb {Q} }$的子集${\displaystyle S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\}}$，因为根号2是无理数，对任何有理数${\displaystyle m\leq {\sqrt {2}}}$皆可找到另一有理数${\displaystyle s}$使${\displaystyle m<s<{\sqrt {2}}}$。

但在某些情况下，极大/极小元保证存在。

• 若${\displaystyle S}$为有限非空子集，则必有极大元和极小元。（对无穷子集无此结论，如整数系${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$就没有极大元。）
• 佐恩引理断言：“若偏序集${\displaystyle P}$中，每个全序子集${\displaystyle S}$皆有上界，则${\displaystyle P}$至少有一个极大元。”此引理等价于良序定理和选择公理，^[3]在数学的多个分支有重要推论，例如可证任何向量空间皆有基（极大的代数无关子集），或是任何域皆有代数闭包（代数扩张偏序下的极大元）。

唯一性

极大/极小元不必唯一。

各领域例子

• 帕累托效率中，“帕累托最优”的状态即是帕累托改善偏序下的极大元，此类极大元的集合又称为“帕累托前缘”（Pareto frontier）。
• 决策论中，可容决策规则（英语：admissible decision rule）是优势（英语：dominating decision rule）偏序下的极大元。
• 现代投资组合理论中，风险（以低为优）与回报（以高为优）的积序（英语：product order）^{[注 2]}下，极大元称为效率投资组合（efficient portfolio），组成的集合则为效率前缘（英语：efficient frontier）。
• 集合论中，某集合为有限当且仅当其任意非空子集族（以包含关系为偏序）皆有极小元。^{[注 3]}
• 抽象代数中，需要将最大公因数的概念推广为极大公因子（英语：maximal common divisor），因为某些数系中，若干个元素的公因子集合可能有多于一个极大元（整除意义下）。
• 计算几何中，点集的极大元（英语：maxima of a point set）是逐分量比较^{[注 2]}下的极大元。

注

1. 因此${\displaystyle p\leq q}$连同${\displaystyle q\leq p}$可推出${\displaystyle p=q}$。
2. 定义为：${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$当且仅当${\displaystyle a\leq c}$且${\displaystyle b\leq d}$。高维情形亦同。
3. 若有元素${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$，则集族${\displaystyle \left\{\{a_{0},a_{1},a_{2},\ldots \},\{a_{1},a_{2},\ldots \},\{a_{2},\ldots \},\ldots \right\}}$无极小元。

参考文献

1. Richmond, Bettina; Richmond, Thomas, A Discrete Transition to Advanced Mathematics, American Mathematical Society: 181, 2009, ISBN 978-0-8218-4789-3.
2. Scott, William Raymond, Group Theory 2nd, Dover: 22, 1987, ISBN 978-0-486-65377-8
3. Jech, Thomas. The Axiom of Choice. Dover Publications（英语：Dover Publications）. 2008 [originally published in 1973]. ISBN 978-0-486-46624-8.