子集

子集（英语：subset）亦称部分集合，为某集合中部分元素的集合；关系相反时则称作父集、母集、超集。子集与父集的关系被称为“包含”。

A是B的子集，B是A的超集。

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意a∈A，则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为${\displaystyle A\subseteq B}$或${\displaystyle B\supseteq A}$，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。

即：${\displaystyle \forall a\in A}$，有${\displaystyle a\in B}$，则${\displaystyle A\subset B}$。

若${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$为集合，且${\displaystyle A}$的所有元素都是${\displaystyle B}$的元素，则可表示为：

• ${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的子集（或称${\displaystyle A}$包含于 ${\displaystyle B}$）；${\displaystyle A\subseteq B}$
• ${\displaystyle B}$是${\displaystyle A}$的父集／超集（或称${\displaystyle B}$包含 ${\displaystyle A}$）；${\displaystyle B\supseteq A}$

任何集合${\displaystyle B}$皆是本身的子集（${\displaystyle B\subseteq B}$）。而${\displaystyle B}$的子集中不等于${\displaystyle B}$的集合，称为真子集，若${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的真子集，写作${\displaystyle A\subsetneqq B}$。

定义

假设有${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$两个集合，如果${\displaystyle A}$中的每个元素都是${\displaystyle B}$的元素，则：

• ${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的子集，记作${\displaystyle A\subseteq B}$

也可以说

• ${\displaystyle B}$是${\displaystyle A}$的超集，记作${\displaystyle B\supseteq A}$

如果${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的子集，但${\displaystyle A}$不等于${\displaystyle B}$（即${\displaystyle B}$中至少存在一个元素不在${\displaystyle A}$集合中），则：

• ${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的真子集，记作${\displaystyle A\subsetneqq B}$

也可以说

• ${\displaystyle B}$是${\displaystyle A}$的真超集，记作${\displaystyle B\supsetneqq A}$

符号

ISO 80000-2标准中定义了两种符号搭配：^[1]

• ${\displaystyle \subseteq }$表示子集关系，${\displaystyle \subset }$表示真子集关系。使用的作品如^[2][3][4]
• ${\displaystyle \subset }$表示子集关系，${\displaystyle \subsetneqq }$表示真子集关系。使用的作品如^[5]:p.6

举例

• 集合${\displaystyle \left\{1,2\right\}}$是集合${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$的真子集。
• 自然数集合是有理数集合的真子集。
• 集合${\displaystyle \{x:x}$是大于2000的素数${\displaystyle \}}$是集合${\displaystyle \{x:x}$是大于1000的奇数${\displaystyle \}}$的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，写作${\displaystyle \varnothing }$，是任意集合${\displaystyle X}$的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。

性质

A是B的子集。

命题1：空集是任意集合的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题2：若${\displaystyle A,B,C}$是集合，则：

自反性：

• ${\displaystyle A\subseteq A}$

反对称性：

• ${\displaystyle A\subseteq B}$且${\displaystyle B\subseteq A}$当且仅当${\displaystyle A=B}$

传递性：

• 若${\displaystyle A\subseteq B}$且${\displaystyle B\subseteq C}$则${\displaystyle A\subseteq C}$

这个命题说明：对任意集合${\displaystyle S}$，${\displaystyle S}$的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题3：若${\displaystyle A,B,C}$是集合${\displaystyle S}$的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：

• ${\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}$（${\displaystyle \varnothing \subseteq A}$由命题1给出）

存在并运算：

• ${\displaystyle A\subseteq A\cup B}$
• 若${\displaystyle A\subseteq C}$且${\displaystyle B\subseteq C}$则${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$

存在交运算：

• ${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$
• 若${\displaystyle C\subseteq A}$且${\displaystyle C\subseteq B}$则${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$

命题4：对任意两个集合${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$，下列表述等价：

• ${\displaystyle A\subseteq B}$
• ${\displaystyle A\cap B=A}$
• ${\displaystyle A\cup B=B}$
• ${\displaystyle A-B=\varnothing }$
• ${\displaystyle B'\subseteq A'}$

这个命题说明：表述"${\displaystyle A\subseteq B}$"，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

参考文献

1. ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics. ISO. 2019-08 [2023-7-24]. （原始内容存档于2023-03-13） （英语）. 请检查|access-date=中的日期值 (帮助)
2. 離散數學-第三章, [2012-09-07], （原始内容存档于2012-07-03）
3. 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14], （原始内容存档 (PDF)于2016-03-04）
4. Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07], （原始内容 (PDF)存档于2013-01-23）
5. Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157

参见

• 幂集：某集合的全部子集组成的集合。