存在量化

在谓词逻辑中，存在量化是对论域内至少一个成员的性质或关系的论断。在符号逻辑中，存在量词“∃”是用来指示存在量化的符号。

“∃”重定向至此。关于倒转的字母E，请见“Ǝ”。关于日语中的片假名，请见“ヨ”。

它相对于声称某些谓词对所有事物都为真的全称量化。

基础

要表达“某些自然数自乘得25”这个命题，一种方式是：

${\displaystyle 0\times 0=25}$，或${\displaystyle 1\times 1=25}$，或${\displaystyle 2\times 2=25}$，或${\displaystyle 3\times 3=25}$，以此类推。

因为使用了“或”一词，这看上去是逻辑析取。然而形式逻辑中的析取概念却不能表达出“以此类推”一词的含义，因此该命题并不能在形式逻辑中解读。

因此将该命题改述为

存在自然数${\displaystyle n}$，${\displaystyle n\times n=25}$。

也可表达为

对于某些自然数${\displaystyle n}$，${\displaystyle n\times n=25}$。

这便是一个使用存在量化的单一命题。该命题比原命题更精确，因为“以此类推”一词想表示的是要包括所有的自然数、且除此之外不包括任何其它内容，但语言中并没有明确地陈述这点，这便是“以此类推”一词不能被形式地解释的根本原因。

这个新命题为真，因为5是自然数，而当把5代入${\displaystyle n}$时，可以得到${\displaystyle 5\times 5=25}$。尽管大多数自然数${\displaystyle n}$都不满足${\displaystyle n\times n=25}$，但存在至少一个解足以举证存在命题为真。反之，“存在偶数${\displaystyle n}$，${\displaystyle n\times n=25}$”为假，因为一个偶数解也不存在。

然而，“存在奇数${\displaystyle n}$，${\displaystyle n\times n=25}$”为真，因为5是奇数。这演示了论域的重要性——确定变量n的取值范围。限制存在量化的论域要使用逻辑合取。例如“存在奇数${\displaystyle n}$，${\displaystyle n\times n=25}$”逻辑等价于“存在自然数${\displaystyle n}$，${\displaystyle n}$是奇数且${\displaystyle n\times n=25}$”。这里的“且”构造出了逻辑合取。

在符号逻辑中，使用存在量词“∃”（反写的无衬线体的字母"E"）来表示存在量化。所以如果${\displaystyle P(a,b,c)}$是谓词“${\displaystyle a\times b=c}$”，而${\displaystyle \mathbb {N} }$则是自然数集，那么有

${\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} \,P(n,n,25)}$

表示的是真命题“存在自然数${\displaystyle n}$，${\displaystyle n\times n=25}$”。

类似的，如果${\displaystyle Q(n)}$是谓词“${\displaystyle n}$是偶数”，那么有

${\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} \,{\big (}Q(n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P(n,n,25){\big )}}$

表示的是假命题“存在自然数${\displaystyle n}$，${\displaystyle n}$是偶数且${\displaystyle n\times n=25}$”。

引用

• Hinman, P. Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. 2005. ISBN 978-1-56881-262-5.

参见

• 全称量化（∀，for all）
• 量化 (数理逻辑)