曼德博集合

曼德博集合（英语：Mandelbrot set，或译为曼德布洛特复数集合）是一种在复平面上组成分形的点的集合，以数学家本华·曼德博的名字命名。曼德博集合与朱利亚集合有些相似的地方，例如使用相同的复二次多项式来进行迭代。

如果c点属于曼德博集合M则为黑色，反之为白色

定义

曼德博集合可以用复二次多项式来定义：

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c\,}$

其中 ${\displaystyle c}$ 是一个复数参数。

从 ${\displaystyle z=0}$ 开始对 ${\displaystyle f_{c}(z)}$ 进行迭代：

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c,n=0,1,2,...}$

${\displaystyle z_{0}=0\,}$

${\displaystyle z_{1}=z_{0}^{2}+c=c\,}$

${\displaystyle z_{2}=z_{1}^{2}+c=c^{2}+c\,}$

每次迭代的值依序如以下序列所示：

${\displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )}$

不同的参数 ${\displaystyle c}$ 可能使序列的绝对值逐渐发散到无限大，也可能收敛在有限的区域内。

曼德博集合 ${\displaystyle M}$ 就是使序列不延伸至无限大的所有复数 ${\displaystyle c}$ 的集合。

特性

• 自相似
• 面积为1.5065918561^[1][2]

相关的定理

定理一

若 ${\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}}$，则 ${\displaystyle c\in {M}}$

证明：

假设 ${\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}}$ 为真

则${\displaystyle |z_{1}|=|c|\leq {\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}}$

第一步：

当 ${\displaystyle n=2\,}$ 时

${\displaystyle |z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\leq |c^{2}|+|c|=|c|^{2}+|c|}$

因为 ${\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle |c|^{2}+|c|\leq {\frac {1}{16}}+{\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}}$

由以上可得知 ${\displaystyle |z_{2}|<{\frac {1}{2}}}$

第二步：

假设 ${\displaystyle |z_{n}|<{\frac {1}{2}}\,}$ 成立

${\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\leq |z_{n}|^{2}+|c|<\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}}$

由上式可得知 ${\displaystyle |z_{n+1}|<{\frac {1}{2}}}$

由数学归纳法可得知对于所有的n(n=1,2,...)，${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 皆比 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,}$ 小。

当n趋近无限大时 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 依然没有发散，所以 ${\displaystyle c\in {M}}$，故得证。

定理二

若 ${\displaystyle c\in {M}}$，则 ${\displaystyle |c|\leq {2}}$

证明：

假设 ${\displaystyle |c|>2\,}$

则 ${\displaystyle |z_{1}|=|c|,|z_{1}|>2\,}$

第一步：

当 ${\displaystyle n=2\,}$ 时

${\displaystyle |z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\geq |c^{2}|-|c|=|c|^{2}-|c|}$

由 ${\displaystyle |c|>2\,}$，左右同乘 ${\displaystyle |c|\,}$ 再减去 ${\displaystyle |c|\,}$ 可得到下式

${\displaystyle |c|^{2}-|c|>2|c|-|c|=|c|\,}$

由以上可得知 ${\displaystyle |z_{2}|>|c|\,}$

第二步：

假设 ${\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}$ 成立，则 ${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$

${\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|}$

因为 ${\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}$

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,}$

由 ${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$，左右同乘 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 再减去 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 可得到下式

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,}$

由以上可得知 ${\displaystyle |z_{n+1}|>|z_{n}|\,}$

由数学归纳法可得知 ${\displaystyle 2<|{z_{1}}|<|{z_{2}}|<...<|{z_{n}}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|\,}$，可看出随著迭代次数增加 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 逐渐递增并发散。

假如${\displaystyle |z_{n}|\,}$不发散，则收敛于某个常数${\displaystyle a>|c|>2}$,

由${\displaystyle |z_{n+1}|\geq |z_{n}|^{2}-|c|}$ 再取极限得 ${\displaystyle a\geq a^{2}-|c|}$ 即 ${\displaystyle a^{2}-a\leq |c|}$。

又 ${\displaystyle a^{2}-a=a(a-1)\geq a>|c|}$，矛盾，故${\displaystyle |z_{n}|\,}$发散。

所以若 ${\displaystyle |c|>2\,}$，则 ${\displaystyle c\notin {M}}$，故得证。

定理三

若 ${\displaystyle c\in {M}}$，则 ${\displaystyle |z_{n}|\leq {2},(n=1,2,...)}$

证明：

要证明若 ${\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}$，则 ${\displaystyle c\notin {M}}$

首先分别探讨 ${\displaystyle |c|>2\,}$ 与 ${\displaystyle |c|\leq 2}$ 两种情形

由定理二可知道 ${\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}$ 且 ${\displaystyle |c|>2\,}$ 时， ${\displaystyle c\notin {M}}$。

接著要证明 ${\displaystyle |c|\leq 2}$ 时的情况：

假设 ${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$，因为 ${\displaystyle |c|\leq 2}$ ，所以 ${\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}$ ，而

${\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|}$

因为 ${\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}$

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,}$

由 ${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$，左右同乘 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 再减去 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 可得到下式

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,}$

由以上可得知 ${\displaystyle |z_{n+1}|>|z_{n}|\,}$

由数学归纳法可得知 ${\displaystyle 2<|{z_{n}}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|<...\,}$，可看出随著迭代次数增加 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 逐渐递增并发散。

所以在 ${\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}$ 且 ${\displaystyle |c|\leq 2}$ 的情况下也是 ${\displaystyle c\notin {M}}$。

综合上述可得知不论 ${\displaystyle |c|\,}$为多少

若 ${\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}$，则 ${\displaystyle c\notin {M}}$，故得证。

利用定理三可以在程式计算时快速地判断 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$是否会发散。

计算的方法

曼德博集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件，例如Ultra fractal，内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码，表达了曼德博集合的计算思路。

For Each c in Complex
 repeats = 0
 z = 0
 Do
  z = z^2 + c
  repeats = repeats + 1
 Loop until abs(z) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根据定理三，EscapeRadius可设置为2。
 If repeats > MaxRepeats Then
  Draw c,Black                                            '如果迭代次数超过MaxRepeats，就将c认定为属于曼德博集合，并设置为黑色。
 Else
  Draw c,color(z,c,repeats)                               'color函数用来决定颜色。
 End If
Next

决定颜色的一些方法

1. 直接利用循环终止时的Repeats
2. 综合利用z和Repeats
3. Orbit Traps

Mathematica代码

mand = Compile[{{z0, _Complex}, {nmax, _Integer}}, 
   Module[{z = z0, i = 1}, 
    While[i < nmax && Abs[z] <= 2, z = z^2 + z0; i++]; i]];
ArrayPlot[
 Reverse@Transpose@
   Table[mand[x + y I, 500], {x, -2, 2, 0.01}, {y, -2, 2, 0.01}]]

各种图示

动画

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参考资料

1. Mrob.com pixel counting. [2012-01-01]. （原始内容存档于2019-08-10）.
2. Mrob.com area history. [2012-04-29]. （原始内容存档于2020-09-22）.