斯坦豪斯-莫泽表示法

斯坦豪斯-莫泽表示法，又称斯坦豪斯-莫泽记号、斯坦豪斯-莫泽多边形记号、多边形记号，为利用多边形来表示大数的一种表示法。此表示法由雨果·斯坦豪斯（英语：Hugo Steinhaus）发明，后来李奥·莫泽扩展了该表示法。

斯坦豪斯的多边形记号

斯坦豪斯多边形记号的定义如下：

• = nⁿ
• = “n放进n个三角形中”
• = “n放进n个正方形中”

斯坦豪斯使用这个符号定义了一些数：

• 被称为Mega数。
• 被称为Megiston数。

莫泽的多边形记号

莫泽多边形记号是斯坦豪斯多边形记号的扩张，这个记号不使用圆形，而使用一般的多边形。

• 、与斯坦豪斯的记号相同。
• = “n放进n个正方形中”（= ）
• 一般来说，“n放进m边形中”=“n放进n个m - 1边形中”

而“2放进边形中”则被称为莫泽数。

中括号表示法

纽约大学的苏珊·史蒂芬教授在自己的网站中使用以下替代符号：

• “n放进p边形中”使用${\displaystyle n[p]\,}$来表示。（请注意：在本条目中，${\displaystyle [n]}$都是表示某个数字放进正${\displaystyle n}$边形中，并不是第${\displaystyle n}$级的超运算，为了避免搞混，第${\displaystyle n}$级的超运算在本条目中是使用${\displaystyle n-2}$个向上的箭号表示，请见高德纳箭号表示法）
• ${\displaystyle [\ldots ]}$可以重复使用。例如，“‘n放进q边形中’放进p边形中”可以表示为${\displaystyle (n[q])[p]\,}$。
• “n放进k个p边形中”表示为${\displaystyle n[p]_{k}\,}$。换句话说，${\displaystyle n[p]_{k}}$可以定义为${\displaystyle n\underbrace {[p][p]...[p]} _{k}}$。

多边形记号可以使用这种表示法来定义：

• ${\displaystyle =n[3]=n^{n}=n\uparrow \uparrow 2\,}$
• ${\displaystyle =n[4]=n[3]_{n}\,}$
• ${\displaystyle =\,}$ ${\displaystyle =n[5]=n[4]_{n}\,}$
• 一般来说，${\displaystyle n[m]=n[m-1]_{n}=n\underbrace {[m-1][m-1]...[m-1]} _{n}\,}$。

上面所使用的↑为高德纳箭号表示法中的记号。

其他例子：

• ${\displaystyle =n[3]_{4}}$

斯坦豪斯和莫泽所定义的大数可如下表示：

• （Mega数）${\displaystyle =2[5]}$
• （Megiston数）${\displaystyle =10[5]}$
• 莫泽数 = ${\displaystyle 2[2[5]]}$

一些例子的计算

简单的例子

• 2[3] = 2² = 4
• 2[4] = 2[3]₂ = 2[3][3] = 4[3] = 4⁴ = 256

Mega数

= 2[5]

= 2[4]₂

= 2[4][4]

= 256[4]

= 256[3]₂₅₆

256[3]_n所代表的值如下（n从1开始）：

${\displaystyle 256[3]=256^{256}}$

${\displaystyle 256[3]_{2}=256[3][3]=\left(256^{256}\right)^{256^{256}}=256^{256}\uparrow \uparrow 2=256^{256\times 256^{256}}=256^{256^{257}}=(256\uparrow )^{2}257}$,

${\displaystyle 256[3]_{3}=256[3]_{2}[3]=256[3]_{2}\uparrow \uparrow 2=\left(256^{256^{257}}\right)^{256^{256^{257}}}=256^{\left(256^{257}\times 256^{256^{257}}\right)}=256^{256^{(257+256^{257})}}=(256\uparrow )^{2}\left(257+256^{257}\right)}$

这个数字可以“近似”如下：

${\displaystyle 256[3]_{3}=256^{256^{257+256^{257}}}\risingdotseq 256^{256^{256^{257}}}=(256\uparrow )^{3}257}$

这个近似值跟${\displaystyle 256[3]_{3}}$实际上差了非常多倍：

${\displaystyle 256^{256^{257+256^{257}}}=\left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{257}}\gg 256^{256^{256^{257}}}}$

通常人们会感觉这两个数很近，其实差很远。

类似地，

${\displaystyle 256[3]_{4}\risingdotseq \left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{256^{256^{257}}}}=256^{\left(256^{256^{257}}\times 256^{256^{256^{257}}}\right)}=256^{256^{(256^{257}+256^{256^{257}})}}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}}=(256\uparrow )^{4}257}$

${\displaystyle 256[3]_{5}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}=(256\uparrow )^{5}257}$

这种“近似”方法也可以推展到所求的Mega数：

${\displaystyle =256[3]_{256}\risingdotseq (256\uparrow )^{256}257}$

如果再采用更简化的“近似值”，可以推得：

${\displaystyle \risingdotseq 256\uparrow \uparrow 257}$

实际上，

${\displaystyle \gg (256\uparrow )^{256}257\gg 256\uparrow \uparrow 257}$

如果以10为底，则可表示成：

${\displaystyle \approx (10\uparrow )^{255}\left(1.99\times 10^{619}\right)\approx (10\uparrow )^{256}\left(6.19\times 10^{2}\right)\approx (10\uparrow )^{257}\left(2.79\right)}$

因此Mega数的范围为：

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<}$ ${\displaystyle <10\uparrow \uparrow 258}$

Megiston数

= 10[5] = 10[4]₁₀ = (10[4]₉)[4]

通过类似于Mega数近似值的近似方法，可得：

${\displaystyle a[4]=a[3]_{a}\risingdotseq a\uparrow \uparrow (a+1)}$

${\displaystyle a[4]\risingdotseq a\uparrow \uparrow (a+1)\risingdotseq a\uparrow \uparrow a\quad \mathrm {when} \ a\gg 1}$ (*)

将a换成10，可得：

${\displaystyle 10[4]=10[3]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 11}$

${\displaystyle 10[4]_{2}=10[4][4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow 11)\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)}$

下式为把开头的10换成a，11换成b，后面的${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 11}$换成n之后的计算（其中a↑b = a^b）：

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&=(a\uparrow \uparrow b)\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=(a\uparrow (a\uparrow \uparrow (b-1)))\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=a\uparrow ((a\uparrow \uparrow (b-1))\times (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\\end{aligned}}}$

当a, b皆足够大时：

${\displaystyle a\uparrow \uparrow (b-1)\ll (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1)}$

所以

${\displaystyle (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n\risingdotseq a\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))}$

这是一个近似值。

此时重复上面的操作，直到n = 1为止：

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&\risingdotseq \underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow 1)\\&=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow (a\uparrow \uparrow b)\\&\risingdotseq a\uparrow \uparrow ((n-1)+b)\end{aligned}}}$

因此，当${\displaystyle n\gg b}$时

${\displaystyle (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n\risingdotseq a\uparrow \uparrow n}$ (**)

这是一个近似值。

使用(**)式，可得${\displaystyle 10[4]_{2}}$的近似值：

${\displaystyle 10[4]_{2}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)}$

以下的近似值使用(*)和(**)式：

${\displaystyle 10[4]_{3}=10[4]_{2}[4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))=10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{3}11}$

${\displaystyle 10[4]_{4}=10[4]_{3}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{4}11}$

${\displaystyle 10[4]_{5}=10[4]_{4}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{5}11}$

因此，

${\displaystyle 10[4]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{10}11}$

所以Megiston数大致等于：

${\displaystyle \risingdotseq 10\uparrow \uparrow \uparrow 11}$

然而，实际上近似值远小于真正的Megiston数：

${\displaystyle \gg (10\uparrow \uparrow )^{10}11\gg 10\uparrow \uparrow \uparrow 11}$

莫泽数

莫泽数代表${\displaystyle 2[}$${\displaystyle ]=2[2[5]]}$。由于是相当巨大的数字，边形几乎跟圆没有差别，因此采用莫泽多边形记号是不可能画出莫泽数的。

尽管是非常巨大的，跟相比来说仍是微不足道的。

提姆·周在1998年证明了下式[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆），可见莫泽数远远小于葛立恒数（因为下式中后者还比葛立恒数小很多）：

${\displaystyle M<3\rightarrow 3\rightarrow ((3\rightarrow 3\rightarrow 5)\times 2-1)}$

利用高德纳箭号表示法来准确表示莫泽数几乎是不可能的，但是可以用近似值来表示。莫泽数近似于${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \!\cdots \!\uparrow 3}$（-2个箭号）。

参见

• 高德纳箭号表示法
• 康威链式箭号表示法

外部链接

• Susan Stepney's Big Numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Steinhaus-Moser notation. MathWorld.