高德纳箭号表示法

高德纳箭号表示法（英语：Knuth's up-arrow notation）是种用来表示很大的整数的方法，由高德纳于1976年设计。它的概念来自幂是重复的乘法，乘法是重复的加法。

简介

乘法是重复的加法：${\displaystyle a\times b=a+a+\cdots +a}$ （有${\displaystyle b}$个${\displaystyle a}$）

幂是重复的乘法：${\displaystyle a^{b}=a\uparrow b=a\times a\times \cdots \times a}$（有${\displaystyle b}$个${\displaystyle a}$）

于是高德纳定义“双箭号”运算符，作重复的幂运算，或称迭代幂次： ${\displaystyle a\uparrow \uparrow b={\begin{matrix}\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} \\b\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \\b\end{matrix}}={^{b}a}}$（中文读法为“b个a重幂”）

计算时是由右至左计的。

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2={^{2}3}=3^{3}=27}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4={^{4}3}=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}\approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5={^{5}3}=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}\approx 3^{1.2580143\times 10^{3638334640024}}}$

多于两个箭号时，

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987\,\!}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3={^{^{3}3}3}={^{7625597484987}3}={\begin{matrix}\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} \\7625597484987\end{matrix}}}$

使用指数来解释高德纳箭号表示法

${\displaystyle a\uparrow \uparrow b}$代表重复的幂，或迭代幂次，例如： ${\displaystyle a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^{a}}}}$

当b为变量或过大时，重复的幂可以如下表示：

${\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{b}}$

指数不只能解释两个箭号的运算，三个箭号也行。

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 2=a\uparrow \uparrow a=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}$

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 3=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a)=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}$

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow [a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a)]=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}}$

再次的，当b为变量或过大时，三个箭号的运算可以如下表示：

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}$

四个箭号可以如下表示：

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=a\uparrow \uparrow \uparrow a=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}$

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a)=\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}$

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow [a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a)]=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}$

再次的一般化：

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}}$

这种方法可以用来表示任何能够用高德纳箭号表示法表示的数，但是会变得相当麻烦。

一般化

若要用多个箭号时，可用↑ⁿ表示，但有些数还是大得连这种表示法也不够用，例如葛立恒数。

这时可能用hyper运算符或康威链式箭号表示法方便一点。

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&{\mbox{hyper}}(a,n+2,b)&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}}$

定义

对于整数${\displaystyle a}$、非负整数${\displaystyle b}$和正整数${\displaystyle n}$：

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}1,\\a^{b},\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),\end{matrix}}\right.}$	若${\displaystyle b=0}$；
	若${\displaystyle n=1}$；
	其他。

这个表示法符合向右结合律。

参考

• Knuth, Donald E., "Coping With Finiteness", Science vol. 194 n. 4271 (Dec 1976), pp. 1235-1242.
• 埃里克·韦斯坦因. Arrow Notation. MathWorld.
• Robert Munafo, Large Numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆）