平坦模

在抽象代数中，一个环 ${\displaystyle R}$ 上的平坦模是一个 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$，使得函子 ${\displaystyle -\otimes _{R}M}$ 保持序列的正合性；若此函子还是忠实函子，则称之为忠实平坦模

域上的向量空间都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部诺特环上的有限生成模，平坦性、射影性与自由性三者等价。

自塞尔的论文《代数几何与微分几何》以降，平坦性便在同调代数与代数几何中扮演重要角色。其几何意义甚深，详见条目平坦态射。

交换环的情形

当 ${\displaystyle R}$ 为交换环，一个 ${\displaystyle R}$-模的平坦性等价于 ${\displaystyle N\mapsto N\otimes _{R}M}$ 是个从 ${\displaystyle R}$-模到${\displaystyle R}$-模之正合函子。

将环 ${\displaystyle R}$ 对一个积性子集 ${\displaystyle S}$ 的局部化 ${\displaystyle S^{-1}R}$ 视作 ${\displaystyle R}$-模，则它是平坦的。

当 ${\displaystyle R}$ 是诺特环而 ${\displaystyle M}$ 是有限生成 ${\displaystyle R}$-模时，平坦性在下述意义等价于局部自由模：${\displaystyle M}$ 是平坦 ${\displaystyle R}$-模若且唯若对任何素理想 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$，局部化 ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ 是自由 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$-模。事实上，对条件中的 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 仅须考虑极大理想即可。

一般的环

当 ${\displaystyle R}$ 非交换时的定义须作如下修改：假设 ${\displaystyle M}$ 是左 ${\displaystyle R}$-模，则称之左平坦模，若且唯若对 ${\displaystyle M}$ 的张量积将右 ${\displaystyle R}$-模的正合序列映至阿贝尔群的正合序列。

环上的张量积总是右正合函子，所以左 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$ 是平坦模的充要条件是：对任何右 ${\displaystyle R}$-模的单射 ${\displaystyle K\rightarrow L}$，取张量积后的同态 ${\displaystyle K\otimes _{R}M\rightarrow L\otimes _{R}M}$ 仍为单射。

极限

一般来说，平坦模的归纳极限仍是平坦模；此陈述可由 ${\displaystyle -\otimes _{R}M}$ 与 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M,-)}$ 的伴随性质形式地推出。平坦模的子模与商模不一定是平坦模，然而我们有下述定理：一个平坦模的同态像是平坦模，若且唯若其核为纯子模。

Lazard 在1969年证明了：模 ${\displaystyle M}$ 平坦的充要条件是它可表成有限生成自由模的归纳极限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。

一个阿贝尔群是平坦 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模的充要条件是其中没有挠元。

同调代数

与Tor函子的关系

平坦性也可以用Tor函子的消没性表示。Tor函子是张量积的左导函子。一个左 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$ 的平坦性等价于 ${\displaystyle n\geq 1\Rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(-,M)=0}$；类此，一个右 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle N}$ 的平坦性等价于 ${\displaystyle n\geq 1\Rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(N,-)=0}$。藉Tor函子的长正合序列可以导出下列关于基本性质：

考虑短正合序列

${\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0}$

• 若 ${\displaystyle A,C}$ 平坦，则 ${\displaystyle B}$ 亦然。
• 若 ${\displaystyle B,C}$ 平坦，则 ${\displaystyle A}$ 亦然。
• 若 ${\displaystyle A,B}$ 平坦，${\displaystyle C}$ 不一定平坦；若假设 ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle B}$ 的纯子模而 ${\displaystyle B}$ 平坦，则可推出 ${\displaystyle A}$ 与 ${\displaystyle C}$ 皆平坦。

局部判准

设 ${\displaystyle R}$ 为交换环，${\displaystyle I\subset R}$ 为一理想，则我们有下述平坦性的局部判准。

定理（Bourbaki）. 以下诸条件等价：

1. ${\displaystyle M}$ 是平坦 ${\displaystyle R}$-模。
2. ${\displaystyle R/I\otimes _{R}M}$ 是平坦 ${\displaystyle R/I}$-模，且 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,R/I)=0}$。
3. ${\displaystyle R/I\otimes _{R}M}$ 是平坦 ${\displaystyle R/I}$-模，且典范同态 ${\displaystyle I\otimes _{R}M\rightarrow IM}$ 为同构。
4. 对所有 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle N}$，有 ${\displaystyle IN=0\Rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,N)=0}$。
5. 对所有 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle N}$，有 ${\displaystyle \exists s\in \mathbb {N} \;I^{s}N=0\Rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,N)=0}$。
6. 对所有 ${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$，${\displaystyle R/I^{s}\otimes _{R}M}$ 是平坦 ${\displaystyle R/I^{s}}$-模。
7. ${\displaystyle R/I\otimes _{R}M}$ 是平坦 ${\displaystyle R/I}$-模，且典范态射 ${\displaystyle \gamma :\mathrm {gr} _{I}^{0}(M)\otimes _{R/I}\mathrm {gr} _{I}^{\bullet }(A)\rightarrow \mathrm {gr} _{I}^{\bullet }(M)}$ 为同构。

此判准在代数几何中的用途尤大。

平坦分解

一个模 ${\displaystyle M}$ 的平坦分解是如下形式的正合序列：

${\displaystyle \cdots \rightarrow F_{i}\rightarrow F_{i-1}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{0}\rightarrow M\rightarrow 0}$

使得其中每个 ${\displaystyle F_{i}}$ 都是平坦模。

任何射影分解都是平坦分解。

忠实平坦模

一个 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$ 被称作忠实平坦的，若且唯若 ${\displaystyle -\otimes _{R}M}$ 是个忠实的正合函子。这也就是说：

1. ${\displaystyle M}$ 是个平坦 ${\displaystyle R}$-模。
2. 典范映射 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(N_{1},N_{2})\rightarrow \mathrm {Hom} (N_{1}\otimes _{R}M,N_{2}\otimes _{R}M)}$ 是单射。

当 ${\displaystyle R}$ 为交换环时，有以下几种等价的刻划：

• ${\displaystyle M}$ 是忠实平坦的。
• ${\displaystyle M}$ 是平坦的，且 ${\displaystyle N\otimes _{R}M=0\Rightarrow N=0}$。
• ${\displaystyle M}$ 是平坦的，且对所有极大理想 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset R}$ 都有 ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}\otimes _{R}M\neq 0}$。
• 一个序列 ${\displaystyle N_{\bullet }}$ 正合，若且唯若 ${\displaystyle N_{\bullet }\otimes _{R}M}$ 正合。

文献

• Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33
• Eisenbud, David. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. New York: Springer-Verlag. 1995: xvi+785. ISBN 978-0-387-94268-1.