伴随函子

在范畴论中，函子${\displaystyle F,G}$若满足${\displaystyle \mathrm {Hom} (F(-),-)=\mathrm {Hom} (-,G(-))}$，则称之为一对伴随函子，其中${\displaystyle G}$称为${\displaystyle F}$的右伴随函子，而${\displaystyle F}$是${\displaystyle G}$的左伴随函子。伴随函子在范畴论中是个极基本而有用的概念。

定义

设${\displaystyle F:{\mathcal {C}}_{1}\to {\mathcal {C}}_{2},\;G:{\mathcal {C}}_{2}\to {\mathcal {C}}_{1}}$为函子，若存在双函子的同构

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F(-),-)\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(-,G(-))}$

则称${\displaystyle F,G}$为一对伴随函子，${\displaystyle G}$称为${\displaystyle F}$的右伴随函子，而${\displaystyle F}$是${\displaystyle G}$的左伴随函子。

上述同构进一步给出两个同构

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F\circ G(-),-)\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(G(-),G(-))}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F(-),F(-))\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(-,G\circ F(-))}$

分别在同构的左右两侧置${\displaystyle \mathrm {id} _{F(-)}}$与${\displaystyle \mathrm {id} _{G(-)}}$，遂得到函子间的态射（即自然变换）：

${\displaystyle \mathrm {id} _{{\mathcal {C}}_{1}}\to G\circ F\quad }$（单位）

${\displaystyle F\circ G\to \mathrm {id} _{{\mathcal {C}}_{2}}\quad }$（上单位）

定义中的双函子同构由单位与上单位唯一决定。

正合性

设${\displaystyle F,G}$是一对伴随函子，若${\displaystyle F}$为右正合则${\displaystyle G}$为左正合；此命题可由正合函子与极限的定义直接导出。

例子

伴随函子在数学中处处可见，以下仅举出几个例子：

• 自由对象与遗忘函子是一对伴随函子，举群范畴为例，此时单位态射不外是集合${\displaystyle X}$到它生成的自由群${\displaystyle F(X)}$的包含映射。
• 积与对角函子。
• 设${\displaystyle R}$为环，${\displaystyle M}$为右${\displaystyle R}$-模，则${\displaystyle M\otimes _{R}-:_{R}\mathbf {Mod} \to \mathbf {Ab} }$与${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(-,M):\mathbf {Ab} \to _{R}\mathbf {Mod} }$为一对伴随函子。当${\displaystyle R}$可交换时，上式的${\displaystyle \mathbb {Z} }$可代为${\displaystyle R}$，${\displaystyle \mathbf {Ab} }$可代为${\displaystyle _{R}\mathbf {Mod} }$。
• 层的正像与逆像。
• 群表示理论中的弗罗贝尼乌斯互反定理（详阅诱导表示）。

文献

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3-540-27949-0

外部链接

• Pierre Schapira, Categories and Homological Algebra