富比尼定理

富比尼定理（英语：Fubini's theorem）是数学分析中有关重积分的一个定理，由数学家圭多·富比尼在1907年提出。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算双重积分的条件。在这些条件下，不仅能够用逐次积分计算双重积分，而且交换逐次积分的顺序时，积分结果不变。“托内利定理”由数学家列奥尼达·托内利在1909年提出，与富比尼定理相似，但是是应用于非负函数而不是可积函数。

定理

若

${\displaystyle \int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty }$，

其中A和B都是σ-有限测度空间，${\displaystyle A\times B}$是${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的积可测空间，${\displaystyle f:A\times B\mapsto \mathbb {C} }$是可测函数，那么

${\displaystyle \int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)}$，

前二者是在两个测度空间上的逐次积分，但积分次序不同；第三个是在乘积空间上关于乘积测度的积分。

特别地，如果${\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)}$，则

${\displaystyle \int _{A}h(x)\,dx\int _{B}g(y)\,dy=\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)}$。

如果条件中绝对值积分值不是有限，那么上述两个逐次积分的值可能不同。

非负函数的Tonelli定理

托内利定理延续了富比尼定理。托内利定理的结论与富比尼定理一样，但是条件从${\displaystyle |f|}$积分有限改为了${\displaystyle f}$非负。

应用

富比尼定理一个应用是计算高斯积分。高斯积分是很多概率论结果的基础：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}}$