可测函数(英语:measurable function)是保持可测空间结构的函数,也是勒贝格积分中主要讨论的函数。
取本节定义中的
为实数系
,然后取:
![{\displaystyle {\mathcal {I}}={\bigg \{}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\,{\bigg |}\,(\exists a)(\exists b)\left[\,(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (A=(a,\,b))\,\right]{\bigg \}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0bd0ac0429611111bd22048ae71d327e7e57cb)
![{\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }:=\sigma ({\mathcal {I}})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge ({\mathcal {I}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f36046aaee0090aa811d32d067208ac1e8a751ef)
换句话说,
是由实数开区间所生成的博雷尔代数(注意到
本身是个拓扑基),那么这样的
-
可测函数
,通常会简称为
- 实可测函数;甚至简称为实可测函数。概率论里的随机变量就是实可测函数。
More information 以下将逐条检验
...
证明
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以下将逐条检验 是否符合σ代数的定义
(1)
因为:
![{\displaystyle f^{-1}(Y)=\left\{x\in X\,|\,(\exists y\in Y)\left[f(x)=y\right]\right\}=X\in \Sigma _{X}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d01ee8ad1948a54c063db9a2dc0e814cf7382c9)
所以 。
(2) ,则
若 ,因为:
![{\displaystyle f^{-1}(Y-B)={\big \{}x\in X\,|\,(\exists y)\left\{(y\in Y)\wedge (y\notin B)\wedge [f(x)=y]\right\}{\big \}}=X-f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d0e7597821108a66a72ccd39c12e385de134ef)
所以 。
(3)可数个并集仍在 中
若 ,那因为:
![{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\right)={\big \{}x\in X\,{\big |}\,(\exists y)\left\{[f(x)=y]\wedge (\exists i\in N)(y\in B_{i})\right\}{\big \}}=\bigcup \{f^{-1}(B_{1}),\,f^{-1}(B_{2}),\,\dots \}\in \Sigma _{X}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62fbbcd8fd8fcd814c71a56c2964c8763a0dce48)
所以 。
综上所述, 的确是 的σ代数。
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More information (1
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More information 根据定理(2),
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- 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
- 可数个实可测函数的最小上界也是可测的。
- 可测函数的逐点极限是可测的。(连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件,例如一致收敛。)
- 卢辛定理
勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R,使得对于每一个实数a,集合
![{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :f(x)>a\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/472eb64d117c1158863851dc083a069616759d46)
都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征,是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。