矩 (数学)

矩^[1]（英语：moment）又称动差^[2][3]，其概念来自于物理学。在物理学中，矩用来表示物体形状的物理量，为重要参数指标。在数学中，矩的概念是用来度量一组具有一定形态特点的点阵。举个常用的例子，一个“二阶矩”，我们在一维上可以测量它的“宽度”；而在更高阶的维度上，由于其适用于椭球的空间分布，我们还可以对点的云结构进行测量和描述。其他的矩用来描述诸如与均值的歪斜分布情况（偏态），或峰值的分布情况（峰态）等其他方面的分布特点。

定义

设随机变数（或统计量，下同）${\displaystyle X}$的概率密度函数为${\displaystyle f(x)}$。

对于离散型随机变量，在存在的前提下，其相对于值${\displaystyle c}$的${\displaystyle n}$阶矩为：

${\displaystyle \mu _{n}=\sum \limits _{i=1}^{\infty }(x_{i}-c)^{n}P(x_{i})}$

对于连续型随机变量，在存在的前提下，其相对于值${\displaystyle c}$的${\displaystyle n}$阶矩为：

${\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,dx}$

特别地，当${\displaystyle c=0}$时称之为原点矩，当${\displaystyle c=E(X)}$时称之为中心矩。

期望（Expectation）

随机变数的期望値定义为其1阶原动差：

${\displaystyle E(x)=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx}$

在变异数等定义中，期望值也称为随机变量的“中心”。显然，任何随机变量的1阶主动差为0。

方差（Variance）

随机变量的方差定义为其2阶主动差：

${\displaystyle \operatorname {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[x-E(x)\right]^{2}\,f(x)\,dx}$

偏态（Skewness）

随机变量的偏态定义为其3阶主动差：

${\displaystyle S(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{3}\,f(x)\,dx}$

峰态（Kurtosis）

随机变量的峰态定义为其4阶主动差：

${\displaystyle K(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{4}\,f(x)\,dx}$

样本矩

矩常常通过样本矩

${\displaystyle \mu '_{n}\approx {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{n}}$

来估计。此方法不需要先估计其概率分布。

参见

• 主动差
• 矩生成函数
• 力矩

外部链接

• Mathworld Website （页面存档备份，存于互联网档案馆）

1. 龚曙明. 应用统计学. 清华大学出版社有限公司. 2005: 91 [2023-07-26]. ISBN 9787810825863. （原始内容存档于2023-07-26）.
2. 国家教育研究院. 數學名詞（第四版）. 2014: 元照出版公司. : 259 [2023-07-26]. ISBN 9789860440454. （原始内容存档于2023-07-26）.
3. 国家教育研究院. 土木工程名詞 (第三版). 元照出版公司. 2015: 133 [2023-07-26]. ISBN 9789860465402. （原始内容存档于2023-07-26）.