中心矩

在概率论或者统计学中，主动差（Central Moment，或称中央动差，其中矩亦被称作动差）是关于某一个随机变量平均值构成随机变量的概率分布的动差。中心矩可以反应概率分布的特征，由于高阶中心矩仅与分布的分布和形状有关，而不与分布的位置有关，所以相比原点矩使用更广泛。

定义

对于一维随机变量${\displaystyle X}$，其${\displaystyle k}$阶中心矩${\displaystyle \mu _{k}}$为相对于${\displaystyle X}$之期望值的${\displaystyle k}$阶矩：

${\displaystyle \mu _{k}=\mathrm {E} [(X-\mathrm {E} [X])^{k}]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)dx}$

前几阶中心矩具有较直观的意义。

• 第0阶中心矩${\displaystyle \mu _{0}}$恒为1。
• 第1阶中心矩${\displaystyle \mu _{1}}$恒为0。
• 第2阶中心矩${\displaystyle \mu _{2}}$为${\displaystyle X}$的方差${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$。
• 第3阶中心矩${\displaystyle \mu _{3}}$用于定义${\displaystyle X}$的偏度。
• 第4阶中心矩${\displaystyle \mu _{4}}$用于定义${\displaystyle X}$的峰度。

性质

• 中心矩具有平移不变性。对于任意的随机变量${\displaystyle X}$和任意常数${\displaystyle c}$，恒有：

${\displaystyle \mu _{n}(X+c)=\mu _{n}(X)}$

• n阶中心矩是n次齐次函数。

${\displaystyle \mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X)}$

• 只有当${\displaystyle n\in \{1,2,3\}}$，且${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$为两个互相独立的随机变量时，中心矩才具有加法性。

${\displaystyle \mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)}$

另一个与中心矩类似，但在${\displaystyle n\geq 4}$时仍保有加法性的统计量为n阶累积量${\displaystyle \kappa _{n}}$。