在数学分析中，初值定理是将时间趋于零时的频域表达式与时域行为建立联系的定理[1]。
它简称为IVT。
令
为 ƒ(t) 的（单边）拉普拉斯变换。初值定理表明[2]
基于导数的拉普拉斯变换，我们有：
因此：
![{\displaystyle \lim _{s\to \infty }sF(s)=\lim _{s\to \infty }\left[f(0^{-})+\int _{t=0^{-}}^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbdf75a64de97d058b89642375e8393430c19e5)
但在 t=0− 到 t=0+ 之间，
是不确定的；为了避免这种情况，可以通过对两段区间分别积分求得：
![{\displaystyle \lim _{s\to \infty }\left[\int _{t=0^{-}}^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]=\lim _{s\to \infty }\left\{\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left[\int _{t=0^{-}}^{\epsilon }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]+\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left[\int _{t=\epsilon }^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a8a557f2496a9442f211b8491a59895616adf9)
在第一个表达式中 0−<t<0+, e−st=1。在第二个表达式中，可以交换积分和取极限的次序。同时在 0+<t<∞ 时 
为零。故：[3]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{s\to \infty }\left[\int _{t=0^{-}}^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]&=\lim _{s\to \infty }\left\{\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left[\int _{t=0^{-}}^{\epsilon }f^{'}(t)dt\right]\right\}+\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{t=\epsilon }^{\infty }\lim _{s\to \infty }\left[e^{-st}f^{'}(t)dt\right]\right\}\\&=f(t)|_{t=0^{-}}^{t=0^{+}}+0\\&=f(0^{+})-f(0^{-})+0\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c60bc0be5cef4f025cba33b39f37b7678f2b7244)
通过用这个结果在主方程中进行代换就得到：
存档副本. [2015-05-05]. （原始内容存档于2017-12-26）. Robert H. Cannon, Dynamics of Physical Systems, Courier Dover Publications, 2003, page 567.
![{\displaystyle \lim _{s\to \infty }sF(s)=\lim _{s\to \infty }\left[f(0^{-})+\int _{t=0^{-}}^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbdf75a64de97d058b89642375e8393430c19e5)
![{\displaystyle \lim _{s\to \infty }\left[\int _{t=0^{-}}^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]=\lim _{s\to \infty }\left\{\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left[\int _{t=0^{-}}^{\epsilon }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]+\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left[\int _{t=\epsilon }^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]\right\}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a8a557f2496a9442f211b8491a59895616adf9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{s\to \infty }\left[\int _{t=0^{-}}^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]&=\lim _{s\to \infty }\left\{\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left[\int _{t=0^{-}}^{\epsilon }f^{'}(t)dt\right]\right\}+\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{t=\epsilon }^{\infty }\lim _{s\to \infty }\left[e^{-st}f^{'}(t)dt\right]\right\}\\&=f(t)|_{t=0^{-}}^{t=0^{+}}+0\\&=f(0^{+})-f(0^{-})+0\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c60bc0be5cef4f025cba33b39f37b7678f2b7244)
