科普兰-埃尔德什常数

克柏兰-艾狄胥常数（英语：Copeland–Erdős constant）是将十进制下的质数依序排出，前面再加上"0."后所得的常数，其数值为

0.235711131719232931374143… （OEIS数列A033308）.

科普兰-埃尔德什常数

科普兰-埃尔德什常数
识别
种类	无理数
位数数列编号	A033308
性质
定义	${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}\lfloor \log _{10}{p_{k}}\rfloor \right)}}$
连分数	[0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …]
表示方式
值	0.235711131719...
二进制	0.001111000101011110010000…
十进制	0.235711131719232931374143…
十六进制	0.3C579092098975475A5C13B9…
查 论 编

此常数是无理数，可以由狄利克雷定理或伯特兰-切比雪夫定理证明^[1]:113。

依类似的证明方式，用所有符合等差数列dn + a的质数（其中a和d及10都互质，例如例如4n + 1或8n + 1形式的质数）加"0."后所得的常数都是无理数。

在十进位下，克柏兰-艾狄胥常数是正规数，这是由亚瑟·赫伯特·克柏兰（英语：Arthur Herbert Copeland）及保罗·艾狄胥在1946年所证明的，这也是此常数名称的由来。

此常数可以由下式计算而得

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}\lfloor \log _{10}{p_{k}}\rfloor \right)}}$

其中p_n是第n个质数。

其连分数为[0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …] (A030168)。

相关常数

在任意b位制下，以下的常数

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b^{-p_{n}},\,}$

在b位制下可以写做0.0110101000101000101…_b 其中若n为质数，第n位就是1

此数字为无理数^[1]:112

相关条目

• Smarandache–Wellin数：上述常数乘以适当的十的次幂后，取整数产生的数列。

参考资料

1. Hardy, G. H.; Wright, E. M., An Introduction to the Theory of Numbers 5th, Oxford University Press, 1938, ISBN 0-19-853171-0

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Copeland-Erdos Constant. MathWorld.