克尔度规

广义相对论中，克尔度规（英语：Kerr metric）或称克尔真空（英语：Kerr vacuum），描述的一旋转、球对称之质量庞大物体（例如：黑洞）周遭真空区域的时空几何。其为广义相对论的精确解（英语：Exact solutions in general relativity），故又称克尔解；广义相对论的主导方程式——爱因斯坦场方程式是非线性的，找出其精确解是相当困难的任务。

克尔度规是史瓦西度规（1915年）的推广，后者用以描述静态不旋转、球对称且不带电荷的庞大物体周遭真空区域的时空几何。在有带电荷的情形，史瓦西度规转成莱斯纳-诺德斯特洛姆度规（1916年–1918年）。约瑟夫·冷泽（英语：Josef Lense）和汉斯·提尔苓（英语：Hans Thirring）曾使用弱场近似方法得到过旋转轴对称球状物体度规的近似解。直到在1963年方由罗伊·克尔提出精确解。^[1]，但他并没有给出推导过程。1973年Schiffer等人给出了克尔度规的推导^[2]。

克尔度规的带电荷版本为克尔-纽曼度规（1965年），以上四个相关的解可整理为如下表格：

	不旋转 (J = 0)	旋转 (J ≠ 0)
不带电荷 (Q = 0)	史瓦西度规	克尔度规
带电荷 (Q ≠ 0)	莱斯纳-诺德斯特洛姆度规	克尔-纽曼度规

其中Q代表物体所带电荷，而J代表物体的自转角动量。

克尔度规的数学表示

若以波以耳-林德奎斯特座标写出克尔真空解，则为：

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)\mathrm {d} t^{2}-{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi +{\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}}$

${\displaystyle +\ \Sigma \mathrm {d} \theta ^{2}+\left(\Delta +{\frac {2Mr(r^{2}+a^{2})}{\Sigma }}\right)\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}}$

其中

${\displaystyle \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }$,

${\displaystyle \Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}}$,

• M为旋转物体质量；
• a为自转参数（spin parameter）或称特定角动量（specific angular momentum），描述此物体的旋转，与角动量J有关，关系式为a = J/M；
• 所有的物理量采用几何单位：c=G=1。

当自转参数a值为零，则表示物体无旋转，克尔度规退化成史瓦西度规。a=M的例子对应到最大旋转程度的质量物体。

注意到：

• 一般而言，波以耳-林德奎斯特径向座标 r 并无简单而直接、如同径向座标般的诠释。
• “最大”旋转程度指的是一黑洞可以存在的最大a值，而非旋转质量物体可以具有的最大a值。

参看

• 史瓦西度规（Schwarzschild metric）
• 克尔-纽曼度规（Kerr-Newman metric）
• 莱斯纳-诺德斯特洛姆度规（Reissner-Nordström metric）

参考文献

1. Kerr, Roy P. The World as a Hologram. Physical Review Letters. 1963, 11 (5): 237–238. doi:10.1103/PhysRevLett.11.237.NASA ADS
2. Schiffer, M.M. et al., 1973, J. Math. Phys., 14, 52.

延伸阅读

• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius & Herlt, Eduard. Exact Solutions of Einstein's Field Equations. Cambridge: Cambridge University Press. 2003. ISBN 978-0-521-46136-8.
• O'Neill, Barrett. The Geometry of Kerr Black Holes. Wellesley, MA: A. K. Peters. 1995. ISBN 978-1-56881-019-5.
• D'Inverno, Ray. Introducing Einstein's Relativity. Oxford: Clarendon Press. 1992. ISBN 978-0-19-859686-8. See chapter 19 for a readable introduction at the advanced undergraduate level.
• Chandrasekhar, S. The Mathematical Theory of Black Holes. Oxford: Clarendon Press. 1992. ISBN 978-0-19-850370-5. See chapters 6--10 for a very thorough study at the advanced graduate level.
• Griffiths, J. B. Colliding Plane Waves in General Relativity. Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 978-0-19-853209-5. See chapter 13 for the Chandrasekhar/Ferrari CPW model.
• Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem. Introduction to General Relativity Second Edition. New York: McGraw-Hill. 1975. ISBN 978-0-07-000423-8. 引文格式1维护：冗余文本 (link) See chapter 7.
• Perez, Alejandro; and Moreschi, Osvaldo M. Characterizing exact solutions from asymptotic physical concepts. 2000. Dec 2000 arXiv:gr-qc/001210027 Dec 2000  请检查|arxiv=值 (帮助). 引文使用过时参数version (帮助) Characterization of three standard families of vacuum solutions as noted above.
• Sotiriou, Thomas P.; and Apostolatos, Theocharis A. Corrections and Comments on the Multipole Moments of Axisymmetric Electrovacuum Spacetimes. Class. Quant. Grav. 2004, 21: 5727–5733.arXiv eprint （页面存档备份，存于互联网档案馆） Gives the relativistic multipole moments for the Ernst vacuums (plus the electrogmagnetic and gravitational relativistic multipole moments for the charged generalization).
• Penrose R. ed C. de Witt and J. Wheeler , 编. Battelle Rencontres. W. A. Benjamin, New York. 1968: 222.
• "The Classical Theory of Fields", L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Fourth revised English edition, Elsevier, Amsterdam ... London, New York ... Tokyo, 1975 (based on B. Carter, 1968).
• B. Carter, Phys. Rev. Lett. 26, 331, 1971