内侧菱形三十面体

在几何学中，内侧菱形三十面体，又称小星形三十面体^[1][2]是一种菱形三十面体的星形多面体^[3]，由30个全等且互相相交的菱形组成。其对偶多面体为截半大十二面体。

内侧菱形三十面体

内侧菱形三十面体
类别	均匀多面体对偶 星形多面体 三十面体 星形菱形三十面体
对偶多面体	截半大十二面体
识别
名称	内侧菱形三十面体
参考索引	DU36
性质
面	30
边	60
顶点	24
欧拉特征数	F=30, E=60, V=24 （χ=-6）
组成与布局
面的种类	30个菱形
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
特性
等面、非凸
图像
截半大十二面体 （对偶多面体）
查 论 编

性质

内侧菱形三十面体由30个面、60条边和24个顶点组成，其30个面皆由菱形组成。内侧菱形三十面体有两种顶角，一种由菱形的锐角组成，顶点图为五边形；另一种由菱形的钝角组成，顶点图为五角星，其中，顶点图为五角星的顶点藏在图形内部^[4]。

顶点座标

对偶边长为1的内侧菱形三十面体的顶点座标为^[5]：

${\displaystyle (\pm {\frac {3}{4}},0,\pm {\frac {3(1+{\sqrt {5}})}{8}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {3(1+{\sqrt {5}})}{8}},\pm {\frac {3}{4}},0)}$

${\displaystyle (0,\pm {\frac {3(1+{\sqrt {5}})}{8}},\pm {\frac {3}{4}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {3({\sqrt {5}}-1)}{8}},0,\pm {\frac {3}{4}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {3}{4}},\pm {\frac {3({\sqrt {5}}-1)}{8}},0)}$

${\displaystyle (0,\pm {\frac {3}{4}},\pm {\frac {3({\sqrt {5}}-1)}{8}})}$

二面角

大六角二十四面体仅有一种二面角，为两个菱形的棱之交角，其值为负二分之一的反馀弦值^[6]：

${\displaystyle \cos ^{-1}(-{\frac {1}{2}})={\frac {2\pi }{3}}\approx 2.0943=120^{\circ }}$

作为星形多面体

内侧菱形三十面体可以看作是一种菱形三十面体的星形多面体，即星形菱形三十面体^[2][7]:41。

星状图（英语：Stellation diagram）	星形	星状核	凸包
		菱形三十面体	正二十面体

拓朴正多面体

内侧菱形三十面体在拓朴中相当于五阶正方形镶嵌的商空间，其可以将作为内侧菱形三十面体中的菱形面进行拓朴变形成正方形而构造出五阶正方形镶嵌，因此在另外一个索引中也被看作是一种正多面体^[8]：

五阶四边形三十面体

类别	抽象正多面体（英语：Abstract_polytope）
对偶多面体	四阶五边形二十四面体
数学表示法
施莱夫利符号	{4,5}6
性质
面	30
边	60
顶点	24
欧拉特征数	F=30, E=60, V=24 （χ=-6）
亏格	4
组成与布局
面的种类	四边形
对称性
对称群	S5， 120元素
查 论 编

内侧菱形三十面体在拓朴学上由30个四边形组成，且每个顶点都是5个四边形的公共顶点，因此在拓朴学上满足抽象正多面体的定义。^[8][9][10]然而这种抽象面体若是具象化为内侧菱形三十面体则仅能具象化一办的对称性。这种抽象正多面体可以对应到亏格为4的五阶四边形正则地区图（施莱夫利符号：{4,5}₆）^[11]，对应的皮特里多边形为六边形^[11]。

其他四种抽象正多面体为：

多面体	内侧菱形三十面体	截半大十二面体	内侧三角六边形二十面体	双三斜十二面体	凹五角锥十二面体
种类	{4,5}6	{5,4}6	{6,5}4	{5,6}4	{6,6}6
顶点图	{5}, {5/2}	(5.5/2)2	{5}, {5/2}	(5.5/3)3
面	30个菱形	12个五边形 12个五角星	20个六边形	12个五边形 12个五角星	20个六边形
镶嵌	{4, 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5, 6}	{6, 6}
χ	−6	−6	−16	−16	−20

参考文献

1. Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
2. Wenninger, Magnus. Dual Models. Cambridge University Press. 1983. ISBN 0-521-54325-8.
3. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. The fifty-nine icosahedra 3rd. Tarquin. 1999. ISBN 978-1-899618-32-3. MR676126. (1st Edn University of Toronto (1938))

1. Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. ISBN 978-0486614809 p. 102-103
2. Weisstein, Eric W. (编). Medial Rhombic Triacontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. （原始 （页面存档备份，存于互联网档案馆）内容于2016-09-01）.
3. Medial Rhombic Triacontahedron. software3d.com. [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-04）.
4. Wenninger, M. J. Dual Models. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 41 and 46, 1983. ISBN 978-0521245241
5. Data of Medial Rhombic Triacontahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-09-01）.
6. Versi-Regular Polyhedra: Medial Rhombic Triacontahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-24）.
7. Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208
8. David A. Richter. The Regular Polyhedra (of index two). 西密西根大学. [2013-05-05]. （原始内容存档于2016-03-04）.
9. Regular Polyhedra of Index Two, I （页面存档备份，存于互联网档案馆） Anthony M. Cutler, Egon Schulte, 2010
10. Regular Polyhedra of Index Two, II （页面存档备份，存于互联网档案馆）  Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357–387 · November 2010, Table 3, p.27
11. S4:{4,5}. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-10-16].

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 內側菱形三十面體. MathWorld.